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《随机信号基础》练习题 本文简介：《随机信号分析》练习题一、概念题1．叙述随机试验的三个条件。2．写出事件A的概率P(A)所满足的三个条件。3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？4．两个事件独立的充要条件。5．两个随机变量独立的充要条件。6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明
《随机信号基础》练习题 本文内容：
《随机信号分析》练习题
一、
概念题
1．
叙述随机试验的三个条件。
2．
写出事件A的概率P(A)所满足的三个条件。
3．
何谓古典概型？其概率是如何计算的？
4．
两个事件独立的充要条件。
5．
两个随机变量独立的充要条件。
6．
两个随机过程的独立是如何定义的？
7．
随机变量X服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．
简述一维随机变量分布函数F（x）的性质。
9．
已知连续型随机变量X的分布特性，分别用分布函数和概率密度函数表示概率。
10．
随机变量X的特征函数是如何定义的？写出由计算k阶矩的公式。
11．
设X1,X2,…,Xn为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C1(μ),C2(μ),…,Cn(μ)，设，则CY(μ)=？
12．
对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？
13．
写出随机过程X(t)的n维分布函数定义式。
14．
简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15．
平稳过程与各态历经过程有何关系？
16．
设平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？
17．
已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为和，若>，说明X(t)
与Y(t)的起伏程度那个较大？
18．
两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？
19．
平稳随机过程的功率谱密度的物理意义是什么？与物理谱密度有何关系？
20．
白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？
21．
简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22．
何为线性系统？
23．
写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24．
写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
25．
对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？
二、计算题
1．设随机变量(X,Y)的分布律为：
(1)填写阴影处的值；
(2)分别画出函数；
(3)验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。
2．己知随机变量X的分布函数为
求X的数学期望。
3．设随机变量X具有概率密度
求X的方差D(X)。
4．已知设一连续性随机变量X在区间(-1,3)上服从均匀分布
(1)求X的概率密度函数；
(2)画出X的分布函数；
(3)求X的取值落在区间(-1,0.5)上的概率。
5．以下函数是某连续型随机变量的概率分布函数，确定其中的常数a并求其概率密度函数。
6．已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为
求：(1)常数A；
(2)分布函数FXY(x,y)；
(3)P{X+Y<2}；
(4)P{X≤Y}。
7．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求E(X)，E(Y)，E(XY)，。
8．随机变量X的数学期望为3，方差为2，定义新的随机变量Y=-6X+22，问随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？
9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
问X与Y是否正交、不相关、独立？为什么？
10．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
求边缘分布。
11．已知二维随机变量(X1,X2)的概率密度函数为，求Y=
X1+X2的概率密度函数。
12．设X为二维随机向量，其分量X1和X2互为独立的随机变量，且分别具有概率密度与。令Y为新的二维随机向量，其分量由下列变换定义Y1=X1，Y2=X1X2，试求
(1)(Y1,Y2)的联合概率密度；
(2)Y2的边缘概率密度。
13.设电压，其中A是已知的正常数，相角是一个随机变量，在区间服从均匀分布，试求电压V的概率密度。
14．一正弦波随机过程为，其中A是均匀分布在(0,1)内的随机变量
(1)
写出随机变量A的概率密度函数；
(2)
画出A分别为0.5和1时的样本函数的图形；
(3)
求时的一维概率密度；
(4)
求时的一维概率密度。
15．利用重复抛币试验定义一个随机过程
“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。
(1)求的一维分布函数和；
(2)求的二维分布函数。
16．设随机振幅信号，其中是常数，随机变量是标准正态随机变量，求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
17．设平稳过程和的自协方差函数分别为
式中a为正常数，求它们的相关系数和相关时间，并判断哪个过程的起伏速度快。
18．给定一个随机过程和任一实数，定义另一个随机过程
已知的一维分布函数和二维分布函数，求的数学期望和自相关函数。
19．已知某随机电报信号X(t)的相关函数为，求其功率谱密度。
20．随机过程为均匀分布于间的随机初始相位，求的功率谱密度。
21．某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生
(1)计算数学期望和自相关函数；
(2)该随机过程是否平稳？
22.平稳随机过程X(t)均值E[X(t)]=3，自相关函数，求随机变量的均值和方差。
23．已知随机过程的功率谱密度为，求其相关函数和均方值。
24．设复随机过程为：
其中ω为正常数，V为实随机变量。求复过程Z(t)的自相关函数。
25．已知RC电路的冲激响应为，输入平稳过程的自相关函数为，求输出过程的自相关函数。
26.设RC低通滤波器的传递函数为，求当输入均值为0，功率谱密度为的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
27.设随机过程，式中，是一个离散随机变量，且，；试求及。
28．设有限时间积分器的单位冲激响应，它的输入是功率谱密度为的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。
29．设线性系统的输入为平稳过程，其功率谱密度为，输出为。求误差过程的功率谱密度。
30．已知随机过程的功率谱密度满足
，
取常数，构造一个新的随机过程.
求的功率谱密度，并画出与的关系。
31．设正态过程，其中为常数，是两个相互独立的正态随机变量。已知，求的一维和二维概率密度函数。
32．设X(t)为零均值、窄带高斯随机信号，其方差为，求X(t)的包络和相位的一维概率密度函数。
三、证明题
1.
证明。
2.
设有随机过程和，证明。
3.
试证明宽平稳过程的方差是常数。
4.
设可微平稳随机过程的功率谱密度为，证明该过程的导数过程的功率谱密度为。
5.
随机过程的导数过程为，证明：。
6.
已知随机过程，式中为常数，互不相关的随机变量A和B具有不同的概率密度，但有相同的方差，均值都为零。证明：X(t)是宽平稳而不是严平稳随机过程。
7.
随机过程定义为，其中是具有周期T的周期波形，随机变量服从区间(0,T)上的均匀分布。证明是宽平稳过程。
（注：若是周期为T的周期函数，则有）
8.
设随机过程，式中a是常数，是两个互相独立的随机变量，具有概率密度，服从在上的均匀分布。试证：的功率谱密度为。
9.
一个线性系统当输入为时，相应的输出为。证明若该系统的输入为的希尔伯特变换，则相应的输出为的希尔伯特变换。
10.
设平稳随机过程的希尔伯特变换为，它们的自相关函数分别为和。证明：。
11.
已知某系统频率响应为，证明当输入信号为时，相应的输出是的解析信号。
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