高中数学数列知识点总结(经典) 本文关键词：数列，知识点，高中数学，经典
高中数学数列知识点总结(经典) 本文简介：导航教育独家经典讲义数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的
高中数学数列知识点总结(经典) 本文内容：
导航教育独家经典讲义
数列基础知识点和方法归纳
1.
等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有
，.
（7）项数为奇数的等差数列，有
，
，.
2.
等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列，，求
解
时，，∴
①
时，
②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列中，，求
解
，∴又，∴.
（3）等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求（）
（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法
如：，求
由已知得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
(
附：
公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.
求数列前n项和的常用方法
(1)
裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
［练习］求和：
（2）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如：
①
②
①—②
时，，时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则
由
∴原式
(附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an
，从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
)
5
篇2：20XX届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文
2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文 本文关键词：立体几何，不等式，数列，向量，滚动
2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文 本文简介：滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.【2018河南名校联考】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】D2.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万
2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文 本文内容：
滚动检测05
向量
数列
不等式和立体几何的综合
（测试时间：120分钟
满分：150分）
一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.
【2018河南名校联考】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，
则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
2.
《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题得:是求首项为,公比为等比数列的前项和.所以:故选D.
考点：等比数列求和.
3.
设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（
）
①若，则有；
②；
③若存在实数λ，使得＝λ，则；
④若，则存在实数λ，使得＝λ.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】B
【解析】
考点：平面向量数量积的应用.
4.
【2018辽宁凌源两校联考】若实数，
满足不等式组
，
，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】画出可行域如图所示,令=,化简得,即过定点(-1,2)的直线系的斜率的取值范围,由图知当直线过定点(-1,2)与交点(-3,1)连线时斜率为,此时斜率最小,则的取值范围为,故选A.
5.
已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为
（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】A
【解析】
考点：三棱柱外接球
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
6.
【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，
所以体积为，故选A。
7.
【2018江西宜春调研】如图（1），五边形是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中，
，现将进行翻折，使得平面平面，连接，所得四棱锥如图（2）所示，则四棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
故选C.
点睛：本题考查了多面体的外接球，把不易求其外接球半径的几何体转化为易求半径的几何体是解题的关键，体现了补体的方法.
8.
设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1,（
）
A．若确定，则
唯一确定
B．若确定，则
唯一确定
C．若确定，则
唯一确定
D．若确定，则
唯一确定
【答案】B
【解析】
考点：1、平面向量的模；2、平面向量的夹角．
9.
【2018湖南浏阳五校联考】已知直线，平面且给出下列命题：
①若∥，则；
②若，则∥；
③若，则；
④若∥，则.
其中正确的命题是
A.
①④
B.
③④
C.
①②
D.
①③
【答案】A
【解析】若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正确。
若α⊥β,且m⊥α?m∥β，又l?β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确。
若m⊥l，且m⊥α，l?β?α与β可能平行，可能相交。所以③不正确。
若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正确。
故选：B.
10.
已知数列中，，，，则的前100项和为（
）
A．1250
B．1276
C．1289
D．1300
【答案】C
【解析】
试题分析：由条件得，则＝．因为，所以，故选C．
考点：1、数列的性质；2、等差数列的前项和．
11.
已知实数、满足条件,若目标函数的最小值为,则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【来源】【百强校】2016届广东汕头市普通高考高三第二次模拟数学（文）试卷（带解析）
【答案】B
【解析】
考点：简单的线性规划.
【方法点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
12.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（
）
【答案】B
【解析】
考点：函数图象.
【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.
若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，即，所以＝．
考点：1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．
14.
如图是棱长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为____________．
【答案】
【解析】
试题分析：按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为．
考点：1、多面体的外接球；2、球的表面积．
【思路点晴】解答本题的关键是求出外接球的半径，如何利用题设条件建构含球的半径的方程是解答好本题的关键之所在．求解时充分借助正方体和正四棱锥都是对称图形，将球心设在四棱锥与正方体底面的中心的连线上，借助截面圆的圆心与球心连线垂直于截面圆，运用勾股定理求出了半径．
15.
若直线过点，则的最小值为
．
【来源】【百强校】2016-2017学年辽宁庄河高中高二10月考文数试卷（带解析）
【答案】
【解析】
考点：基本不等式的应用.
【方法点睛】本题主要考查的是基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题，对于此类题目而言，首先利用已知条件求出之间的关系，即，然后利用乘法对进行处理，发现，可利用基本不等式进行计算，即可求解，因此此类题目灵活运用基本不等式是解题的关键.
16.
【2018湖南五市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
，球的表面积.
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.
已知等差数列的公差为，是它的前项和，，，成等比数列，
（1）求和；
（2）设数列的前项和为，求。
【答案】（1）；
（2）
【解析】试题分析：
(1)结合题意求得数列的首项为，则其通项公式为，利用等比数列前n项和公式可得：；
(2)结合(1)中求得的数列的前n项和可得,裂项求和可得：.
试题解析：
（1）因为，，
而，，成等比数列，所以，
即，解得
所以，
（2）由（1）知
所以
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18.
在△中，角的对边分别是，已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，△的面积，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）先根据向量平行关系得，再由正弦定理，化角得，最后根据两角和正弦公式及诱导公式得（2）由三角形面积公式得，即，再根据余弦定理得，解方程组得
试题解析：解：（1）∵，∴，
由正弦定理，得，
化简，得﹒
∵，∴﹒
又∵，∵，∴．
考点：正余弦定理，两角和正弦公式及诱导公式
19.
已知数列的首项，且.
（Ⅰ）证明：数列是等比数列.
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用代入化简，再说明不为零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根据等比数列通项公式求，即得，代入，可得，因此其前项和应用错位相减法求
试题解析：
解（Ⅰ）证明：
∴
又，∴，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
即.
∴.
于是，①
，②
由①-②得，，
即，
∴数列的前项和.
考点：等比数列定义及通项，错位相减法求和。
20.
【2018四川成都七中一模】如图，四棱锥中，
平面，
为线段上一点，
，
为的中点.
（1）证明：
（2）求四面体的体积.
【答案】（1）见解析（2）
解析：（1）
由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为平行四边形，于是因为所以
（2）因为平面，
为的中点，所以到平面的距离为取得中点，连接，由得由得到的距离为，故，所以四面体的体积为
21.
如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，△为等腰三角形，，平面平面，且，,,分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求四棱锥的体积．
【答案】（1）（2）见解析（3）四棱锥的体积
【解析】
试题分析：（1）要证平面，由线面平行的判定定理，既要证平行于平面内的一条直线，通过分析，证明即可；（2）要证平面平面，由面面垂直的判定定理，只要证明平面即可；（3）证明四棱锥的的高为，则体积可求
试题解析：（1）如图，连接，
∵四边形为矩形且是的中点，
∴也是的中点．
又是的中点，，
∵平面，平面，∴平面．
（2）证明：∵面平面，，平面平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（3）取的中点为，连接，
∵平面平面，△为等腰直角三角形，
∴平面，即为四棱锥的高．
∵，∴，又，
∴四棱锥的体积．
考点：线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，椎体的体积公式
22.
如右图，已知是边长为2的正方形，平面，，设，．
（1）证明：；
（2）求四面体的体积；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）2．
【解析】
试题解析：（1）由已知，是正方形，所以对角线，
因为平面，所以，
因为，相交，所以平面，从而．
（2）四面体的体积
，
所以四面体的体积为2．
（3）先求△的三条边长，，，
在直角梯形中易求出，
由余弦定理知，所以，
；
点到平面的距离为，由体积法知：
，解得，所以点到平面的距离为2．
考点：1、线面垂直的性质；2、线线垂直的判定；3、余弦定理；三角形面积公式；4、多面体的体积；5、空间距离．
篇3：数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结
数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文关键词：方法，数列，例题，公式，讲解
数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文简介：数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.
数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结 本文内容：
数列的通项公式
1.通项公式
如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。
2.数列的递推公式
（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。
（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可
3.数列的前n项和与数列通项公式的关系
数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即
与通项的关系是
4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)
1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项
2）前n项和与的关系法，
求解.
(注意：求完后一定要考虑合并通项)
3）、累（叠）加法：形如∴
4）.
累（叠）乘法：形如
∴
5）.待定系数法
：形如a=p
a+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）
6)
倒数法
：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）
7).
对数变换法
：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）
8).除幂构造法:
形如
(然后用待定系数法或是等差数列)
9).
归纳—猜想—证明”法
直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．
递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.
通项公式方法及典型例题
1.前n项和与的关系法
例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）(1)Sn＝2n2－3n；
（2）
解：
(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
（1），
当时===3
经验证也满足上式
∴=3
（2），当时，
由于不适合于此等式
。
∴
(点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)
2.累加法:
型
2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；
解:由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，
累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝，
即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
3.累乘法
型，
3.
已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.
解：∵
∴.
∴
a1=*1=
∴
4.待定系数法:
a=p
a+q（p≠1，pq≠0）型，
通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得
pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。
4.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.
由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．
所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，
所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
5.倒数变换法、形如的分式关系的递推公式，分子只有一项
（两边取倒，再分离常数化成求解）然后用待定系数法或是等差数列
例5.
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由
得
是以首项为，公差为的等差数列
考点六、构造法
.形如
然后用待定系数法或是等差数列
6、已知数列满足求an．
解：将两边同除，得，变形为．
设，则．所以，
数列为首项，为公差的等比数列．
．因，所以=
得=．
求数列的通项公式
一、数列通项公式的求法
1、观察法
观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式
例、由数列的前几项写通项公式
（1）1，3，5，7，9…
（2）9，99，999，9999，
（3）
2、定义法：
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。这种方法适应于已知数列类型的题目．
例（1）已知是一个等差数列，且。求的通项.；
（2）已知数列{}为等比数列，求数列{}的通项公式；
（3）已知等比数列，若，求数列的通项公式。
（4）数列中，，求的通项公式
（5）已知数列满足，，求的通项公式
（6）已知数列中,,且当时,则
;
.
3、公式法：
已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：
注意：要先分n=1和n≥2
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例（1）已知数列的前n项和，求的通项公式。
（2）已知数列中,,则
.
（3）已知数列前n项和，求的通项公式
4
累加法：
利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.
例.（1）数列中，，求的通项公式
（2）在数列中，
，
求数列的通项公式？
5、
累乘法:
利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:
的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).
例（1）已知数列的首项，且，求数列的通项公式
（2）已知数列的首项，求数列的通项
6、
凑配法（也叫构造新数列）:
将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫凑配法（构造新数列.）
例（1）数列中，，求的通项公式
（2）已知数列中,,,求的通项公式
7、
倒数变换：将递推数列,取倒数变成
的形式的方法叫倒数变换.
例（1）在数列中,,,求数列的通项公式？
求前n项和的方法
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；
②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．
③常见数列的前n项和：
a．1＋2＋3＋…＋n＝________________；
b．2＋4＋6＋…＋2n＝_________________；
c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d．
e．
(2)分组求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式有：
①_x0001_
＝－；
②＝；
③＝－.
(4)错位相减：
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列的前n项和，其中和分别是
和
；
(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．
考点二、分组求和法：
2.求数列的前n项和。
考点三、.裂项相消法：
3.
求数列的前n项和.
解：设
（裂项）
则
（裂项求和）
＝＝
考点四、错位相减法：
4.
求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………………………②
（设制错位,乘以公比）
①_x0001_
-
②得
（错位相减）
∴
考点五、倒序相加法：
5.
求的值
解：设………….
①
将①式右边反序得
…………②（反序）
又因为
①+②得
（反序相加）
＝89
∴
S＝44.5
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为(
)
A.
130
B.
260
C.
156
D.
168
4.
在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N+，其中a，b为常数，则ab＝________.
二、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·
bn}的前n项和，其中{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
2．设数列的前n项和为，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
例2．已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列的前n项和为，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和
3：求数列的前n项和。
四、裂项相消法求和
[例1]
在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
练习1、设数列的前n项的和为，点均在函数的图像上
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前n项的和，求
3、数列的通项公式为，则它的前10项的和=
4、
5．已知数列是等差数列，其前项和为
（I）求数列的通项公式；
（II）求和：.
等差
等比
应用
例1.在等差数列中，，则
.
练习1.设{}为等差数列，公差d
=
-2，为其前n项和.若，则=（
）
A.18
B.20
C.22
D.24
2.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（
）
(A)
(B)
7
(C)
6
(D)
3.等差数列的前n项和为，且
=6，=4，
则公差d＝________
4.
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝_______
5.
数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
6.正项等比数列=
。
7.等比数列的前项和为,已知,,则
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（
）
A．9
B．3C．
-3
D．-9
9.
设等差数列的前项和为,则
(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
10.已知数列为等差数列，且，，那么则等于（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
11.知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则
(
)
A．10
B．16
C．20
D．24
12.在等比数列中，首项，，则公比为
.
13.
若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.
14
．等比数列中,公比,记
(即表示数列的前
项之积),取最大值时n的值为（
）
A．8B．9C．9或10D．11
数列大题训练
1、已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
2．函数对任意都有
(1)求和的值
(2)数列满足：数列是等差数列吗？请给予证明．
3．已知数列满足是首项为1、公比为的等比数列．
(1)求的表达式；
(2)如果
求数列的前n项和．
4、数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列各项为正，前项和为，，又成等比数列，求.
5、已知数列是等差数列，且，是数列的前项和．
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；
(Ⅱ)
若数列满足，且是数列的前项和，求与．
6．
设是正数组成的数列，其前n项和为
并且对于所有的自然数与2的等差中项等于与2的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)令
求证：
7、已知数列是等差数列，
；数列的前n项和是，且．
(Ⅰ)
求数列的通项公式；
(Ⅱ)
求证：数列是等比数列；
(Ⅲ)
记，求的前n项和
8.已知数列的前项和满足，其中．
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和为．
9.已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
10、已知数列满足
（1）求的通项公式；（2）证明：.
11.已知数列的前项和是，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求适合方程
的正整数的值．
数列大题训练(
答案
)
1、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，即数列的前n项和=
2．(1)因为
故
令得
即
(2)
：而
两式相加得
所以
又故数列是等差数列．
3．(1)
当时，
故
即
(2)因
故
…①
…②
①一②得
故
又故
4、解：（Ⅰ）由可得，
两式相减得：，
又∴
故是首项为1，公比为3的等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得
故可设，又，
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
5、(Ⅰ)设数列的公差为，由题意可知：,解得:
…3分
∴
…………………………………5分
6．(1)由题意可知：整理得
所以故
整理得：由题意知
而
故
即数列为等差数列，其中
故
(2)令
则
故
故
7、解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，
∵，，∴，∴．
………………………2分
∴．
…………………………………………4分
（Ⅱ）当时，，由，得．
…………………5分
当时，，，∴，即…7分
∴．
∴是以为首项，为公比的等比数列．
…………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知：．
∴．
∴．
∴．
∴
．……13分
∴．
8.解:（I）∵，
①
当，∴，当，∵，
②
①-②：，即：
………………………………4分
又∵，
，∴对都成立，所以是等比数列，∴
（II）∵，∴，
∴，
∴，即
.……………………………12分
9.（1）由已知得，∴．
当时，．
，∴，．
（2）由⑴可得．
当为偶数时，，
当为奇数时，为偶数
，综上，
10.（1）解
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴。
（2）证明：∵
∴，
∵n是正整数，∴，，
∴。
11.解：（1）
当时，，由，得
当时，∵
，
，
∴，即
∴
…5分
∴是以为首项，为公比的等比数列．故
（2）
，
（3）
解，得
19