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高考江西卷数学试题分析及教学建议 本文简介：2009年高考江西卷数学试题分析及教学建议九江市教研室林健航高考结束后，教师及时地对高考试题进行分析是必要的和重要的，一方面，它既能帮助我们更好地领悟命题专家的命题原则和思路，从而更好地把握今后的教学重点、难点和方向，另一方面，我们也能通过对试题的分析，对过去的教学进行有效的反思和总结，查摆教学中存
高考江西卷数学试题分析及教学建议 本文内容：
2009年高考江西卷数学试题分析及教学建议
九江市教研室
林健航
高考结束后，教师及时地对高考试题进行分析是必要的和重要的，一方面，它既能帮助我们更好地领悟命题专家的命题原则和思路，从而更好地把握今后的教学重点、难点和方向，另一方面，我们也能通过对试题的分析，对过去的教学进行有效的反思和总结，查摆教学中存在的问题，发现知识点的疏漏和方法的欠缺，从而更好地提高我们今后的课堂教学效率。下面就2009年高考江西数学试题进行分析，谈点体会，不到之处，望各位同仁指正!
一、试题分析
1、主干内容重点考查，知识点覆盖全面
文理两份试题均以高中主干知识为重点考查对象。如对函数、不等式和导数的考查有：理科第2、5、12、17、22（第2问）题，文科第2、5、11、12、17题；对三角函数的考查有：理科第4、8、19题，文科第4、16、19、21题；对数列的考查有：理科第8、22题，文科第8、21题；对解析几何的考查有：理科第6、15、16、21题，文科第7、15、16、22题；对立体几何的考查有：理科第9、14、20题，文科第9、14、20题；对概率的考查有：理科第10、18题，文科第10、18题等。除此之外，文理两份试题还兼顾了对其它非主干知识的考查，如理科第1题复数的概念、第3题集合的运算、第7题二项式展开，文科第1题命题、第3题集合的运算、第6题二项式展开等。因此，从中我们可以看出，高中教材每章内容都有试题涉及，所考查的知识点较为全面。各小题所考查的主要知识点见下表.
表：各小题所考查的主要知识点
题号
文科
理科
题号
文科
理科
1
命题
复数的概念
12
导数的几何意义
函数的定义域和值域
2
函数的定义域
函数的定义域
13
向量的垂直关系
共线向量
3
集合的运算
集合的运算
14
立体几何的面积与体积计算
立体几何体积计算
4
三角函数的周期
三角函数的最值
15
数形结合，直线与圆的位置关系
数形结合，直线与圆的位置关系
5
函数的奇偶性与求值
导数的几何意义
16
数形结合，直线与圆的位置关系
数形结合，直线与圆的位置关系
6
二项式展开，整除性问题
椭圆的离心率
17
运用导数求函数的单调性及极值，二次函数的图像与性质
用导数来考查函数的单调性，解不等式
7
双曲线的离心率
二项展开式
18
概率
概率
8
等差、等比数列的通项与求和
数列的前项和
19
解三角形，正弦定理的运用
三角函数的恒等变形，解三角形
9
立体几何
立体几何
20
立体几何面面垂直的证明，线面角，点到面得距离
立体几何面面垂直的证明，线面角，点到面得距离
10
等可能事件的概率
等可能事件的概率
21
运用分类讨论的思想和错位相减法球数列前项和
圆锥曲线求轨迹方程，过定点的曲线系方程
11
信息题，函数的图像
新定义题
22
椭圆，直线与圆的位置关系
数列的通项与不等式
2、强调通性通法，重视思想方法的灵活运用
思想方法是数学之精髓，通性通法是数学之根本。文理两套试题十分重视数学思想方法的灵活运用，强调数学的通性通法，淡化特殊技巧，通过对通性通法的熟练运用来检验学生对基本知识的掌握情况。如数形结合的思想方法运用有：理科第3、12、15、16题，文科第3、15、16题等；分类讨论的思想方法运用有：理科第17题，文科第21题；相关点法有：理科第21题；割补法有：理科第9、11题；函数、方程与不等式思想的运用有：理科第7、12、15、17题，文科第5、15、17等；构造法的运用有：理科第22题；错位相减法有：文科第21题等。下面就三道典型试题进行具体分析:
（1）割补法的运用
D
z
C
B
y
O
A
x
（09·江西·理·9）如图,正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上,则在下列命题中,错误的为
A.是正三棱锥
B.直线平行平面
C.直线与所成的角是
D.二面角为
O
A
B
C
D
E
F
G
分析:自从江西省实行自主命题以来，割补法就一直是数学考试关注的对象，如（06·江西·理·20）、（07·江西·理·20）题等均可采用割补法来求解.
第9题若借助于正方体就十分方便,过程如下:
从图形中易得
A.正确
B.错误
C.直线与所成的角即为,正确
D.二面角即为,正确
（2）数形结合思想的运用
（09·江西·理·15）若不等式的解集为区间，且，则
.
y
x
o
3
3
-3
1
分析：可设函数,易知函数的图象是以原点为圆心,半径为3的上半圆,是一条经过定点的直线,如下图所示:
从图象中可知要使,直线必须经过
点,故直线的斜率
（3）相关点法的运用
x
O
y
F2
F1
P
P1
P2
A
.
（09·江西·理·21）已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂
足为，连接并延长交轴于点.
(1)求线段的中点的轨迹的方程;
(2)设轨迹与轴交于两点，在上任取一点
，直线分别交轴于
两点，求证：以为直线的圆过两定点.
分析:本题主要考查求轨迹的一般方法 ———相关点法、圆的方程及过定点的曲线系方程问题.
求轨迹的一般方法，如定义法、相关点法、参数法、交轨法等是解析几何的重点与难点，也是高考的热点，学生须熟练地掌握.
圆的方程的三种形式（标准式、一般式、参数式）虽然相对解析几何的其他内容显得比较简单，但因考查形式的多样性和灵活性，学生在考试时往往不容易掌握，因此教学中应引起教师足够的重视，如本题涉及到以（坐标为、）为直径的圆可设为.
3、注重理性思维，突出“能力立意”的指导思想
高考命题的指导思想已从“知识立意”转为“能力立意”，因此，它对学生理性思维能力的要求越来越高，它要求学生要有较强的逻辑推理能力、分析概括能力、运算能力、空间想象能力、应用数学知识解决一些实际问题的能力和创新意识。
（09·江西·理·16）设直线系,对于下列
四个命题:
A.
中所有直线均经过一个定点
B.存在定点不在中的任一条直线上
C.对于任意整数,存在正边形,其所有边均在中的直线上
D.
中的直线所能围成的正三角形面积相等
其中真命题的代号是
(写出所有真命题的代号)
分析：学生要能准确地判断出直线系的图形特
征,即所有的直线都与圆相切.从图象中,我们不难发现A明显错误;中的所有直线都不经过圆内的点,故B正确;满足C的正边形都是圆的外切正边形,故C正确;中的直线所围成的正三角形面积有两个值,分别是和,故D错误.
y
o
x
N
.
A
B
C
D
E
（09·江西·理·12）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为
A.
B.
C.
D.不能确定
分析：本题关键在于学生是否能够正确理解“所有点构成一个正方形区域”这句话的含义,即函数定义域的区间长度与值域的区间长度相等.函数的大致图象如下图所示:
y
x
x1
x2
o
y2
设
解得
（09·江西·理·11）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”.下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为,则下列关系中正确的为
A.
B.
C.
D.
分析：本题是一个创新定义题，它要求学生能正确理解“直径”和“周率”的定义，并通过补形和特殊化的方法来求解。
变形为
变形为
变形为
可以计算得出：
（特殊化为正方形，设边长为）
（设小圆半径为）
（特殊化为正三角形,设边长为
）
（设正十二边形的边长为）
4、承认文理差异，文理区分继续加大
两套试题注意到了文、理科考生的特点，文理科试题差异明显，与前今年自主命题不同的是，今年文理科没有一道完全相同的试题，相似的题型也仅仅只有6道，文科试卷更多侧重常用的推理方法和数值计算，理科试卷侧注重考查学生的推理能力和理性思维，更具数学本质的深刻性和抽象性。如理科第22题、文科第21题的数列题，理科考查从一般到特殊再到一般的思想方法的运用、用构造法来求数列的通项公式以及数列与不等式的综合运用，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，文科则是用分类讨论的方法和错位相减法来求数列的前项问题，比较常规和具体，从而体现出文、理科试题的差异。
二、学生对试卷的感觉
1、整卷难度偏大，主要体现在选择和填空题上，如理科第7、8、11、15、16题，致使大部分学生在选择和填空题上所花时间较长，考试心态发生变化，紧张和烦躁，导致前几道较简单的解答题也出现失误，后两题无时间思考。据可靠消息，非选择题理科平均分27.94分，文科平均分20.77分，印证了学生的感觉。
2、对理科第7题“不含的项的系数”产生了误解。一方面，部分学生理解成“不含的任意次幂项的系数（0次幂除外）”，也有部分学生理解成为“不含的一次幂项的系数”。
3、理科第8题大部分学生不会想到利用“”的方法来求和，而其他任何一种解法都会使计算量大增，耽误大量时间。
4、第12题“所有点构成一个正方形区域”对学生要求过高，大部分学生读不懂题意。
5、第15题命题的本意是用数形结合的思想来解题，但学生会联想到不等式，而无理不等式又是大纲中不作要求的，学生平时就没有进行过此类题型的训练。
6、第16题此类直线系方程也超出学生的能力要求，另外第15、16两道题均采用数形结合思想来解题，学生无所适从。
7、第19题解题思路较为单一，部分学生采用“”的方法展开，运算量较大，而“切化弦，减少角的量”又是三角函数中的常规方法。
三、教学建议
针对2009年高考江西数学试题的特点，提以下几点教学建议：
1、规范要求——计算能力的加强
近几年高考越来越重视对学生计算能力的考查，如今年江西卷理科第8、14、18、20、21题，文科第8、18、19、20、21、22题等对计算能力的要求比较高。目前，高中生计算能力弱的现象普遍存在，造成这种现象的原因是多方面的，既有小学、初中教材中对计算能力的要求相比以前有所减弱造成的，也与教师平时的规范训练要求不到位有关。数学学科是严谨与规范的代名词，考试中答题的规范性是相当重要的。解答题格式凌乱、详略不当、解题过程不严密等，这些都会造成计算错误而失分，影响成绩。那么如何加强这方面的训练呢?关键还是看老师如何引导。教师板书的示范作用很重要，因此，对于每一节课每一位教师一定要精心设计好自己的板书内容，一个还好的板书，字里行间都会给以学生潜移默化的影响。规范书写方面的要求一定要让学生在高一起始学习阶段中做到，否则为时已晚，我们切不可掉以轻心。
2、学会学习——学习能力的提升
前面已经提到，近几年高考江西数学试题对学生能力的要求越来越高，尤其是今年的试题更是如此。因此，那些仅靠题海战术多做题而在平时模拟训练中成绩尚可的学生在这次高考中考得并不尽如人意，重要原因之一是这些学生往往不会学习。而造成学生不会学习的原因除了学生自身基础方面的因素外，其中一个主要原因还在于教师教育教学理念的相对陈旧有关，我们大部分教师在平时教学中大包大揽，管得太死，讲的太细，过于追求课堂教学的完美，不让学生过多思考怕影响教学进度，不允许学生范错误怕影响教学效果，不让学生提出质疑怕课堂上一时无法解决影响师道尊严，不承认学生个体差异作业布置整体划一等等。因此，作为教师应不断更新教育与教学理念，要想办法如何使得学生从满足“学会”转变为追求“会学”，学会自己发现问题，学会自己分析和解决问题，要教会学生掌握合理的学习方法，只有这样，才可以在学生的终身学习中不断提高知识的质量，加速掌握知识的速度，缩短掌握知识的时间，并随意扩大所了解知识的范围。
3、掌握方法——抓住数学的精髓
教育部考试中心对全国高考数学考试大纲的说明中指出“数学思想方法属方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼和概括”。数学思想包括：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想等。数学基本方法包括：待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法等。数学逻辑方法（或思维方法）包括：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等。高考对数学思想方法的考查是与数学知识的考查相结合进行的，是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想方法的理解和掌握程度，是考查考生能力的必由之路。教师要充分认识数学思想方法在提高解题能力上的重要性，因此，在进行每一节课堂教学时，教师都要有意识地渗透数学思想方法，提升数学思想。
4、加强钻研——业务素质的提高
近几年江西高考数学试卷个别题目既可以用高中数学的相关知识加以解决，也可以用高等数学的方法加以研究，尚若教师能够教会学生利用简单的高等数学的方法来解题，将会拓宽学生的思维，从而能够快速而准确地解决一些高考中的难题。
定理1：若，则.
（05·江西·理·8）若，则
A.
B.1
C.
D.
分析:
因为,所以,即
所以,故选C
定理2:
过二次曲线外一点作它的两条切线，则切点弦所在直线方程为
（08·江西·理·21）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.
（1）求证：三点共线；
（2）略
分析：（1）设，
因此的直线方程
的直线方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
定理3：数列满足，函数，且
首项.
（1）若特征方程有两个相异实根，则
（2）若特征方程只有一个实根，且，则（证
明略）
数列满足，且是特征方程两个相异
不实根，则（证明略）
若数列满足，且是特征方程的最小实根，则（证明略）
（09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.
(1)当时,求通项;(2)略.
分析:
求数列的通项公式的方法很多,尤其是利用求特征根的方法求数列的通项公式是教学中的一个难点。
本题第1问若能采用此方法则能准确快速地求解,详解如下:
由得
将代入上式化简得
考虑特征方程得特征根
所以
所以数列是以为首项,公比为的等比数列
故
即
5、应考策略——心理状态的调整
每一年的高考不仅仅是考生文化知识的大比拼，而且还是考生身体素能、心理素质和意志品质的大比拼。一些非智力因素对考试的影响也相当大，充分开发学生的非智力因素对考试成绩的提高能起到相当重要的作用。以心理素质为例，如有的同学在高考前会异常紧张与躁动；有的同学在高考中监考教师刚发下试卷时会出现思维的停滞，大脑一片空白；有的同学高考中碰到“坎儿题”就会乱了方寸，束手无措；有的同学不是忘了填涂答题卡就是涂错了选项等等，这些都会对高考成绩产生严重的影响。因此，教师在平时教学中除了教会学生基本知识、基本方法、基本技能和基本实践经验外，一定要重视学生非智力因素的开发，平时要进行有目的、有针对性的训练，使学生在考试中保持平稳的心态，正常发挥应有的水平。
9