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求极限的方法及例题总结解读

求极限的方法及例题总结解读 本文关键词:例题,解读,极限,方法

求极限的方法及例题总结解读 本文简介:1.定义:说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2.极限运算法则定理1已知,都存在,极限

求极限的方法及例题总结解读 本文内容:

1.定义:

说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;

(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2.极限运算法则

定理1

已知,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)

(2)

(3)

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

.

利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

例1

解:原式=。

注:本题也可以用洛比达法则。

例2

解:原式=。

例3

解:原式。

3.两个重要极限

(1)

(2);

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,

例如:,,;等等。

利用两个重要极限求极限

例5

解:原式=。

注:本题也可以用洛比达法则。

例6

解:原式=。

例7

解:原式=。

4.等价无穷小

定理2

无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

定理3

当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

~~~~~~。

说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价

关系成立,例如:当时,~;~。

定理4

如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。

利用等价无穷小代换(定理4)求极限

例9

解:~,~,

原式=。

例10

解:原式=。

注:下面的解法是错误的:

原式=。

正如下面例题解法错误一样:

例11

解:,

所以,原式=。(最后一步用到定理2)

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

1.

2.

1/21

5.洛比达法则

定理5

假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;

(2)和都可导,且的导数不为0;

(3)存在(或是无穷大);

则极限也一定存在,且等于,即=。

说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。

例12

(例4)

解:原式=。(最后一步用到了重要极限)

例13

解:原式=。

例14

解:原式==。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)

例15

解:

先用等价无穷小,再用洛必达法则

例18

解:错误解法:原式=。

正确解法:

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。

例19

解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限

不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

原式=(分子、分母同时除以x)

=(利用定理1和定理2)

6.连续性

定理6

一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有。

利用函数的连续性(定理6)求极限

例4

解:因为是函数的一个连续点,

所以原式=。

7.极限存在准则

定理7(准则1)单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。

例1.

设,

求极限。

定理8(准则2)已知为三个数列,且满足:

(1)

(2),

则极限一定存在,且极限值也是a

,即。

10.

夹逼定理

利用极限存在准则求极限

例20

已知,求

解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则1极限存在,设。对已知的递推公式两边求极限,得:

,解得:或(不合题意,舍去)

所以。

例21

解:易见:

因为,

所以由准则2得:。

9.

洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题,洛必达法则和等价无穷小结合运用,往往能化简运算,收到奇效。

11.

泰勒展开法

12.

利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限,所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8.

利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是:若级数收敛,则,故对某些极限,可将函数作为级数的一般项,只须证明此技术收敛,便有。

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时,求该数列的极限就成了求相应级数的和,此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂级数,有时为Fourier级数)。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求

7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,

xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化

11

还有个方法

,非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

x的x次方快于

x!

快于

指数函数

快于

幂数函数

快于

对数函数(画图也能看出速率的快慢)

!!!!!!

当x趋近无穷的时候

他们的比值的极限一眼就能看出来了

12

换元法

是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限,

(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式,

看见了有特别注意)

1

读书的好处

1、行万里路,读万卷书。

2、书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷,下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力,老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早,白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。

8、读书要三到:心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器,人不学、不知义。

10、一日无书,百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生,一日不写手生。

13、我扑在书上,就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书,就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书,就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学,如日出之阳;壮而好学,如日中之光;志而好学,如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘,思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根

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