一元二次方程知识点总结及例题解析 本文关键词：例题，知识点，解析
一元二次方程知识点总结及例题解析 本文简介：一元二次方程一）一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为二）。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、当Δ>0时
一元二次方程知识点总结及例题解析 本文内容：
一元二次方程
一）
一元二次方程的定义
是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为
二）。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？
1、当Δ>0时方程有2个不相等的实数根；
2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；
3、当Δ0)
Δ>0
有两个不相等的实数根
C>0
两根同号
b>0
有两个负根不相等
b0
负根绝对值较大(正根绝对值较小)
b0
一根为0另一个根为负根
b0
有两个相等的负根
b0
即a、c异号方程必有解。
[例题]
m为何值时，方程
①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根；④有一根为0；⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。
[例题]
已知方程的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。
[例题]已知方程ax2+bx+c
＝0
(a≠0)的实数根为m、n求下列对称式子的值
①；②；③；④；⑤；⑥。
[例题]已知实数a、b满足,且求的值。
[例题]已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围。（2）化简
[例题]
设a、b是方程的两个实数根，求的值。
根据题意得a+b=-1，ab=-2009，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a-1，
又∵a是x2+x-2009=0的根，
∴a2+a-2009=0，
∴a2+a=2009，
∴a2+2a+b=2009-1=2008
六）解一元二次方程中的应用
直接开平方法：用简明图表可表示为：
直接开平方法：形如（mx+n）2=p
(m≠0,p≥0)两个一元一次方程。
配方法：用简明图表可表示为：
配方法：一元二次方程
形如（mx+n）2=p
(m≠0,p≥0)的方程
因式分解法：用简明图表可表示为：
因式分解法：一元二次方程两个一元一次方程
公式法：x1，x2
一元二次方程应用题部分
一、列方程解应用题的一般步骤是
1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；
3.列:列代数式,列方程；
4.解:解所列的方程；
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
注：列方程解应用题的关键是:
找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。
二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：
求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：
例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
解：设其中一数为x，另一数为x+2，
依题意得：x（x+2）＝168
x2+2x-168=0
（x-12）（x+14）＝0
x1=12，x2
=－14
当x＝12时，另一数为14；
当x＝-14时，另一数为-12.
答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12.
四）银行利率应用题（含利滚利问题）：
年利息＝本金×年利率（年利率为a%）
存一年的本息和：本金×（1+年利率）
，即本金×（1+
a%）
存两年的本息和：本金×（1+年利率）2，
即本金×（1+a%）2
存三年的本息和：本金×（1+年利率）3，
即本金×（1+a%）3
存n年的本息和：本金×（1+年利率）n，
即本金×（1+a%）n
例：我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。
解：设均收入的年平均增长率，则1200×（1+x）2=1452
解得：X1=0.1，X2=-2.1（不合题意，舍去）
∴人均收入的年平均增长率为10%。
五）销售利润方案类题（含薄利多销问题及价格与销量问题）
六）函数与方程
七）信息题
八）背景题
九）古诗题
十）象棋比赛题
十一）几何类题：①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图形的周长与面积积问题，⑧利用图形探索规律
最常见的如：求直角三角形的边。
例：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。
解：设较短的直角边的长为x厘米，较长的直角边的长为（x＋3）厘米，根据三角形的面积公式，得x（x+3）=9
解得：X=3或X=-6（不合题意，舍去）
故X=3，X+3=6
所以较长的直角的边长为6厘米。
常见的还有就是：求矩形的边：
例：①利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设靠墙的一边为x
x（20-2x）=20
解得：x=5
∴设靠墙的两边为5m，另一边为10m
十二）赛制循环问题：
单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共
[x（x-1）]场；
双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；
【单循环比双循环少了一半】
例：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？
解：设一共有x人
x?（x-1）=10
解得：x=5
或x=-4（不合题意，舍去）
∴一共有5人
销售利润方案类题
（1）经济类一
1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少
10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
解：设每件售价x元，则每件利润为x-8，
每天销售量则为
所以每天利润为640元时，
则根据：（每天销售量）×（每件利润）=
每天利润
故有：
则有x2-28x+192=0
即（x-12)（x-16)=0
所以x1=12或x2=16。
答：当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元。
3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？
解：设涨价10x元,销量将减少10x件:
(300-10X)(50+10X-30)=8700
6000+3000X-200X-100X2=8700
X2-28X+27=0
(X-1)(X-27)=0
X1=1,以每件50+10×1=60元售出，平均每月能售出300-10×1=290件,进货290件,以每件60元售出.
X2=27,以每件50+10×27=320元售出，平均每月能售出300-10×27=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.（此解舍去不是太有道理的）
函数与方程
1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元。每提高一个档次，每件利润增加2元，但每天产量减少4件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出y关于x的函数关系式；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次.
解:1)生产数量为:76--4(X--1)
利润为:10+2(X—1)
则函数为:Y=[76—4(X—1)][10+2(X—1)]
整理为:Y=-8X2+128X+640
2）当Y=1080时，则有：1080=--8X2+128X+640
整理得：X2-16X+55=0
解之得X1=5或X2=11(不合题舍)
固为第五档.
[例1]【实际背景】
预警方案确定:
设．如果当月W<6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”．
【数据收集】
今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表
月
份
2
3
4
5
玉米价格(元/500克)
0.7
0.8
0.9
1
猪肉价格(元/500克)
7.5
m
6.25
6
【问题解决】
(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；
(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；
(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．
解：（1）由题意，
，
解得：
m=7.2．
（2）从2月~5月玉米的价格变化知，后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元．
（或：设y＝kx+b，将（2，0.7），（3，0.8）代入，得到y=0.1x+0.5，把（4，0.9），
（5，1）代入都符合，再得到（6，1.1）
∴6月玉米的价格是：1.1元/500克;
∵5月增长率：
，∴6月猪肉的价格：6(1－)=5.76元/500克.
∴W==5.24<6，
要采取措施．
（3）7月猪肉价格是：元/500克；
7月玉米价格是：元/500克；
由题意，+=5.5，
解得，
．
不合题意，舍去．
∴≈7.59，
，∴不(或：不一定)需要采取措施．
几何类题
（1）等积变形
例1将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
解：都能.（1）设小路宽为x，则＝×18×15，即x2－33x+180＝0，
解这个方程，得，即（舍去）；
（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
说明：等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
图2
图4
图3
（2）动态几何问题
例：如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以
AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
所以方程无实数解。
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明：本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据：路程＝速度×时间；动态题的解题是思想是——化动态为静态，在运动的某一时刻就是一个静态时的状态。
（3）梯子问题
例：一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解：依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理，列方程
(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
图5
说明：求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形；在滑动的过程中梯子的长度没有改变，也就是构成的直角三角形的斜边是一个常量10m。
（4）、航海问题
例：如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.
解这个方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合题意，舍去）.
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明：求解这类几何运动题题型时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程；或找出相似三角形，应用相似比构造出等量关系式；或找出线段之间的倍数关系，从而找出等量关系式。
探索存在问题
例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.
则根据题意，得+＝17，
整理得：
解得x1＝16，x2＝4，
当x＝16时，20－x＝4；当x＝4时，20－x＝16，
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，
<0
所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
一元二次方程练习题
一、
填空
1．一元二次方程化为一般形式为：
，二次项系数为：
，一次项系数为：
，常数项为：
。
2．关于x的方程,当
时为一元一次方程；当
时为一元二次方程。
3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是
。
4.
；
。
5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是
。
6．若方程的两个根是和3，则的值分别为
。
7．若代数式与的值互为相反数，则的值是
。
8．方程与的解相同，则=
。
9．当
时，关于的方程可用公式法求解。
10．若实数满足，则=
。
11．若，则=
。
12．已知的值是10，则代数式的值是
。
二、
选择
1．下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若与互为倒数，则实数为（
）
（A）±
（B）±1
（C）±
（D）±
3．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（
）
（A）
（B）1
（C）
（D）
4．关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．关于的一元二次方程有实数根，则（
）
（A）＜0
（B）＞0
（C）≥0
（D）≤0
6．已知、是实数，若，则下列说法正确的是（
）
（A）一定是0
（B）一定是0
（C）或
（D）且
7．若方程中，满足和，则方程的根是（
）
（A）1，0
（B）-1，0
（C）1，-1
（D）无法确定
三、
解方程
1.
选用合适的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
四、解答题
1.
已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的腰。
2.
已知一元二次方程有一个根为零，求的值。
答案
一、
填空题
1、，；
2、；
3、；
4、；
5、54；
6、-1，-6；
7、1或；8、；
9、；
10、
11、-4，2；12、19
二、选择题
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、C
7、C
三、计算题
1、-4或1；
2、1
3、；
4、
四、解答题
1、解
答等腰三角形的腰为5
2、解
-
14
-