高中数学导数题型总结 本文关键词：导数，题型，高中数学
高中数学导数题型总结 本文简介：导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1.是的导函数，则的值是。考点二：导数的几何意义。例2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则。例3.曲线在点处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知在R
高中数学导数题型总结 本文内容：
导数
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1.
是的导函数，则的值是
。
考点二：导数的几何意义。
例2.
已知函数的图象在点处的切线方程是，则
。
例3.曲线在点处的切线方程是
。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。
考点四：函数的单调性。
例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。
例6.
设函数在及时取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数；
②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
例7.
已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。
解析：（1），。
（2），。
令，即，解得或，
则和在区间上随的变化情况如下表：
＋
0
—
0
＋
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
0
，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。
答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。
点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8.
设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。
解析：
（1）∵为奇函数，∴，即
∴，∵的最小值为，∴，又直线的斜率为，因此，，∴，，．
（2）。
，列表如下：
增函数
极大
减函数
极小
增函数
所以函数的单调增区间是和，∵，，，∴在上的最大值是，最小值是。
答案：（1），，；（2）最大值是，最小值是。
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
导数强化训练
（一）
选择题
1.
已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（
A
）
A．1B．2C．3D．4
2.
曲线在点（1，－1）处的切线方程为（
B
）
A．B．C．D．
3.
函数在处的导数等于
（
D
）
A．1B．2C．3D．4
4.
已知函数的解析式可能为（
A
）
A．B．
C．D．
5.
函数，已知在时取得极值，则=（
D
）
（A）2（B）3（C）4（D）5
6.
函数是减函数的区间为(
D
)
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
7.
若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（
A
）
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8.
函数在区间上的最大值是（
A
）
A．B．C．D．
9.
函数的极大值为，极小值为，则为
（
A
）
A．0
B．1
C．2D．4
10.
三次函数在内是增函数，则
（
A
）
A．
B．
C．D．
11.
在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（
D
）
A．3B．2C．1D．0
12.
函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（
A
）
A．1个
B．2个
C．3个D．
4个
（二）
填空题
13.
曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为__________。
14.
已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是______________
15.
已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为
。
16.
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
吨．
（三）
解答题
17.
已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．
18.
已知函数
（1）求的单调减区间；
（2）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
19.
设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用表示；
（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。
20.
设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。
21.
用长为18
cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
22.
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（1）求的最大值；
（1）
当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
强化训练答案：
1.A
2.B
3.D
4.A
5.D
6.D
7.A
8.A
9.A
10.A
11.D
12.A
（四）
填空题
13.
14.
15.
7
16.
20
（五）
解答题
17.
解：。
据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得
∴
∴
∵，∴
极小值
∴极小值为－25，，。
18.
解：（1）
令，解得
所以函数的单调递减区间为
（2）因为
所以因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得
故
因此
即函数在区间上的最小值为－7.
19.
解：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得
因此故，，
（2）.
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
20.
解：（1）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（2）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
21.
解：设长方体的宽为（m），则长为
(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令，解得（舍去）或，因此.
当时，；当时，，
故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。
从而最大体积，此时长方体的长为2
m，高为1.5
m.
答：当长方体的长为2
m时，宽为1
m，高为1.5
m时，体积最大，最大体积为。
22.
解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（2）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．