直角三角形的边角关系全章总结复习 本文关键词：角形，边角，直角，复习，关系
直角三角形的边角关系全章总结复习 本文简介：2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦:sinA＝＝余弦:cosA＝＝正切:tanA＝＝.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形
直角三角形的边角关系全章总结复习 本文内容：
2017—2018学年寒假辅导
第1讲
直角萨娇新的边角关系
一、
知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数
正弦:
sinA＝＝
余弦:
cosA＝＝
正切:
tanA＝＝.
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知识点二
：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=
.
4.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
(4)相等的角
①商的关系:tanA=
;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB.
知识点三
：解直角三角形的应用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
（如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
（1）
叠合式
（2）背靠式
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
6.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
二、
专题讲座
专题一：锐角三角函数的概念
注意：1.sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有
，这些比值只与
有关，与直角三角形的
无关
2.取值范围
例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
①＝______，＝______；
②＝______，＝______；
③＝______，＝______．
例2.
锐角三角函数求值：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝__
___，cosA＝___
___，tanA＝____
__，
sinB＝___
___，cosB＝_____
_，tanB＝___
___．
例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
类型一：直角三角形求值
例4．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．
例5.已知是锐角，，求，的值
类型二.
利用角度转化求值：
例6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
例7.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则
．
例7图
例8图
例9图
例13图
例8.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积=
cm2．
例9.如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，AB=8,则的值为
(
)
Ａ．
Ｂ．Ｃ．Ｄ．
类型三.
化斜三角形为直角三角形
例10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．
例11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．
例12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ABC的值．
类型四：利用网格构造直角三角形
例13如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
对应训练：
1．在Rt△ABC中，∠
C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为（
）A．
B．
C．
D．2
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（
）
A．
B.
C.
D.
3.
如图，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若
，则的长为(
)
A．
B．
C．
D．
4.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=；求∠B的度数及边BC、AB的长.
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
6．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
7.
在△ABC中，∠A=60°，AB=6
cm，AC=4
cm，则△ABC的面积是
（
）
A.2
cm2
B.4
cm2
C.6
cm2
D.12
cm2
8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin
A
=_______.
9．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
10．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（
）
A．
B.
C.
D.
2
专题二：特殊角的三角函数值
锐角a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana
当
时，正弦和正切值随着角度的增大而
余弦值随着角度的增大而
例1．求下列各式的值．
（1）
（2）
（3）3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°
(4)
(5)
；
例2．求适合下列条件的锐角a
．
(1)(2)
(3)
(4)
（5）已知a
为锐角，且，求的值
（6）在中，若，都是锐角，求的度数.
例3.
三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin
A
<
，那么∠A的取值范围是（
）
A.
0°<
∠A
<
30°
B.
30°<
∠A
＜60°
C.
60°<
∠A
<
90°
D.
30°<
∠A
<
90°
2.
已知∠A为锐角，且，则
（
）
A.
0°<∠
A
<
60°
B.
30°<∠
A
<
60°
C.
60°<
∠A
<
90°
D.
30°<∠
A
<
90°
例4.
（三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
对应练习：
1.计算：
2.计算：
3.计算：.
4计算：(2014－)0－(cos60°)-2＋－tan30°；
5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．
7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=．
计算的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
9.
已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
10.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，点D在BC边上，DC=
AC
=
6，求tan
∠BAD的值．
11.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的长.
专题三：解直角三角形的应用
例1．（2012?福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（
）
例1图
例2图
A．
200米
B．
200米
C．
220米
D．
100（）米
例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（
）
A．100m
B．100m
C．150m
D．50m
例3.
“兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁，桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥。【来源：小芸和小刚分别在桥面上的，处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部处到桥面的距离，小芸在处测得，小刚在处测得，求弧形钢架拱梁顶部处到桥面的距离。(结果精确到)(参考数据：，，，，)21*cnjy*com
例4.如图，一垂直于地面的灯柱，
AB
被一钢缆
CD
固定，CD
与地面成
45°夹角（∠CDB=45°
），在
C
点上方
2
米处加固另一条钢缆
ED，
ED
与地面成
53°
夹角（∠EDB=53°
），那么钢缆
ED
的长度约为多少米？
（结果精确到
1
米。参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
例5．如图，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1：，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠
DCA=45°，然后他顺山坡向上行走100米到达E处，再测得∠
FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠
BCD的大小；
（2）求塔顶A到CD的铅直高度AD．（结果保留整数：）
对应练习：
1．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．
2.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．
3
.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.
4．（如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（
）
第4题图
第5题图
A．
10米
B．
10米
C．
20米
D．
米
5．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)
专题四：三角函数的综合应用
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
tan∠BDC=
．
(1)
求BD的长；
(2)
求AD的长．
2．如图，在平行四边形中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=，，求CF的长．
C
D
B
N
M
A
小红
小明
3．如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）
4．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．