高中数学必修知识点总结及题型 本文关键词：知识点，题型，必修，高中数学
高中数学必修知识点总结及题型 本文简介：高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉
高中数学必修知识点总结及题型 本文内容：
高中数学讲义必修一第一章复习
知识点一
集合的概念
1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．
2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．
3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为
.
知识点二
集合与元素的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三
集合的特性及分类
1．集合元素的特性
_______、________、________.
2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称
非负整数集(自然数集)
整数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
知识点四
集合的表示方法
1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法
2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．
知识点五
集合与集合的关系
1．子集与真子集
定义
符号语言
图形语言
(Venn图)
子集
如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
________(或________)
真子集
如果集合A?B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集
________(或________)
2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A?B，B?C，则________．(4)如果AB，BC，则________．
3．集合相等
定义
符号语言
图形图言
(Venn图)
集合相等
如果集合A是集合B的子集(A?B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等
A＝B
知识点六
集合的运算
1．交集
自然语言
符号语言
图形语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B的交集
A∩B＝_________
2．并集
自然语言
符号语言
图形语言
由_________________
_________________组成的集合，称为A与B的并集
A∪B＝_______________
3.交集与并集的性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝________
A∪B＝________
A∩A＝________
A∪A＝________
A∩?＝________
A∪?＝________
A?B?A∩B＝________
A?B?A∪B＝________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．
5．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言
?UA＝________________
图形语言
典例精讲
题型一
判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是
。
题型二
验证元素是否是集合的元素
1、
已知集合，判断3是不是集合A的元素。
2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.
题型三*
求集合
1．方程组的解集是(
)
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是(
)
A．①②③④⑤⑥
B．②③④⑤
C．②⑤D．②⑤⑥
题型四*
利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(
)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.
4.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(
)
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
题型五*
判断集合间的关系
1、设,，则M与N的关系正确的是（
）
A.
M=N
B.
C.
D.以上都不对
2．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x3}，则M∪N＝(
)
A．{x|x>－3}
B．{x|－30}，则S∩T＝(
)
A．[2,3]
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞)D．(0,2]∪[3，＋∞)
5．下列关系式中，正确的个数为(
)
①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.
A．4
B．3
C．2D．1
6．
(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2a}
{x|x≤a}
{x|xf(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数．
知识点八
函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有__________
(2)存在x0∈I，使得______________
(1)对于任意的x∈I，都有________
(2)存在x0∈I，使得________
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九
函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数
2.性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(x)=0
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
知识点十
函数的周期性
若存在非零常数T，对定义域内任意x，都有，称这样的函数为周期函数，T叫函数的一个周期。
典例精讲
题型一**
函数的定义域
1
函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为(
)
A．{x|x>－3}
B．{x|x>0}
C．{x|x>3}D．{x|x≥3}
2．函数f(x)＝＋的定义域为(
)
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
3.函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是（
）
A.00,f(x)=x2+x,求f(x)解析式
3、
设是奇函数，是偶函数，并且，求。
题型六*
函数的值域与最值
1、函数
，的值域为
．
2、求函数
的最大值和最小值。
3、求函数
的最大值和最小值。
题型七**
函数性质的考察
1、
写出函数的单调递减区间
2、设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3
(1)若函数f(x)的单调增区间为，则实数a的值__________；
(2)若函数f(x)在区间内是增函数，则实数a的范围__________。
3、定义在上的奇函数，则常数____,_____
4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5、函数的图像（
）
A.关于原点对称
B.关于主线对称
C
.关于轴对称
D.关于直线对称
6、函数的图象（
）
A.
关于原点对称
B.
关于直线y=x对称
C.
关于x轴对称
D.
关于y轴对称
7、定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则（）
A.
B.
C.
D.
8、已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x
取值范围(
)
（A）（，）
B.［，）
C.（，）
D.［，）
9、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则
(
)
(A)
B.
C.
D.
10、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是
(
)
A.0
B.
C.1
D.
11、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
12、已知函数f(x)＝的图象经过点(1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数．
(1)求函数中a、b的值；
(2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．
基本初等函数、方程的根与函数的零点
知识点一
指数函数
（1）
根式的概念：
如果，且，那么叫做的次方根．
（2）
分数指数幂的概念：
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．
（3）
运算性质：
①
②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
知识点二
对数函数
（1）
对数的定义：
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
．
（2）几个重要的对数恒等式：，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
0
1
0
1
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
知识点三
幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
知识点四
函数与方程
1、函数零点的定义
（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法
①
代数法：函数的零点的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
有2个零点有两个不等实根；
有1个零点有两个相等实根；
无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、
二分法
（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
①
确定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;
(ⅱ)
若,则令(此时零点);
(ⅲ)
若,则令(此时零点);
④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.
典例精讲
题型一*
有关幂函数定义及性质
1、函数是一个反比例函数，则m=
.
2、在函数①y=x3
②y=x2
③y=x-1
④y=中，定义域和值域相同的是
.
3、
将，，按从小到大进行排列为________
题型二**
指数函数及其性质
1、函数且的图像必经过点
2、
比较下列各组数值的大小：
（1）
；
（2）
；
3、函数的递减区间为
；值域是
4、设，求函数的最大值和最小值。
5、设都是不等于的正数，
在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是
A
B
C
D
题型三*
指数函数的运算
1、计算的结果是（）
A、B、C、—
D、—
2、等于（）
A、
B、C、
D、
3、若，则=
。
题型四*
对数运算
1、求值
；
2、已知，那么用表示是（）
A、
B、
C、
D、
3、已知，那么等于（）
A、B、C、D、
题型五**
对数函数及其性质
1、指数函数
且的反函数为
；它的值域是
2、已知，则
(
)
3、
，，，的大小关系是
4、已知＜0
，（＞0，≠1），则的取值范围是
.
5、函数
（＞0，且≠1）的图像必经过点
6、已知y=loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是
（
）
A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．
题型六**
零点区间的判断
1、函数
f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（
）
A、(－2，－1)
B、(－1,0)
C、(0,1)
D、(1,2)
2、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间
（
）
A、B、C、D、(1,2)
3、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（
）
A、[0,1]
B、[1,2]
4、在下列区间中，函数的零点所在的区间为
（
）
A、
B、
C、
D、
5、若是方程的解，则属于区间
（
）
A、
B、
C、
D、
题型七**
零点个数的判断
1、方程的实数解的个数为
.
2、函数的零点个数为
.
3、函数在区间[0,4]上的零点个数为
（
）
A、4
B、5C、6
D、7
4、函数在内
（
）
A、没有零点
B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点
D、有无穷多个零点
5、函数，
零点个数为
（
）
A、3
B、2
C、1
D、0
6、若函数
(且)有两个零点，则实数的取值范围是
.
7、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、
题型八*
二分法求函数零点
1、下列函数中能用二分法求零点的是
（
）
2、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是
（
）
3、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区（
）
A、
B、
C、
D、不能确定
4、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点
，第二次应计算
.
以上横线上应填的内容为
（
）
A、（0，0.5），
B、（0，1），
C、（0.5，1），
D、（0，0.5），
5、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
(1)
=
－2
f
(1.5)
=
0.625
f
(1.25)
=
－0.984
f
(1.375)
=
－0.260
f
(1.4375)
=
0.162
f
(1.40625)
=
－0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（
）
A、1.2
B、1.3
C、1.4
D、1.5
19