高中数学统计6统计活动：结婚年龄的变化7相关性教学案北师大版 本文关键词：统计，相关性，高中数学，北师大版，年龄
高中数学统计6统计活动：结婚年龄的变化7相关性教学案北师大版 本文简介：67预习课本P46～51，思考并完成以下问题(1)什么是散点图？(2)曲线拟合的定义是什么？(3)具备什么特征的两个变量是线性相关的？(4)具备什么特征的两个变量是非线性相关的？(5)具备什么特征的两个变量是不相关的？1．散点图在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量
高中数学统计6统计活动：结婚年龄的变化7相关性教学案北师大版 本文内容：
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预习课本P46～51，思考并完成以下问题
(1)什么是散点图？
(2)曲线拟合的定义是什么？
(3)具备什么特征的两个变量是线性相关的？
(4)具备什么特征的两个变量是非线性相关的？
(5)具备什么特征的两个变量是不相关的？
1．散点图
在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了两个变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．相关关系
(1)曲线拟合：
从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．
(2)线性相关和非线性相关：
若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．
(3)不相关：
如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
[点睛]
两个变量具有相关关系和两个变量之间是函数关系是不同的．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)变量之间只有函数关系，不存在相关关系．(
)
(2)两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响．(
)
(3)需要通过样本来判断变量之间是否存在不同关系．(
)
(4)相关关系是一种因果关系，具有确定性．(
)
答案：(1)×
(2)√
(3)√
(4)×
2．观察下列各图形：
其中两个变量x，y具有相关关系的是(
)
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
解析：选C
由图可知，③中各点分布在某条直线周围，④中各点分布在某条曲线周围，因此③④中的两个变量具有相关关系．
3．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；
②同一物体的加速度与作用力是函数关系；
③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；
④圆的周长与面积的关系是相关关系；
⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中，正确的命题序号是________．
答案：②⑤
相关关系的概念
[典例]
在下列各个量与量的关系中：
①正方体的表面积与棱长之间的关系；
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③家庭的收入与支出之间的关系；
④某户家庭用电量与水费之间的关系．
其中是相关关系的为(
)
A．①②
B．③④
C．②④
D．②③
[解析]
①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；④某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．
[答案]
D
利用变量间相关关系的概念判断量与量之间的关系时，一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系——函数关系；两个变量之间的关系具有随机性、不确定性——相关关系．
[活学活用]
1．下列变量之间的关系不是相关关系的是(
)
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．某种农作物的亩产量与施肥量
D．父母身高和子女身高的关系
解析：选A
B、C、D均为相关关系，A为函数关系．
2．有下列关系：①人的寿命与他(她)每天坐着的时间之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．
解析：利用相关关系的概念进行判断，②中两变量的关系是一种确定性关系．
答案：①③④
散点图
[典例]
某公司近年来科研费用x(单位：万元)与公司所获的利润y(单位：万元)之间有如下的统计数据：
x
2
3
4
5
y
18
27
32
35
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．
[解]
(1)散点图如下：
(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此认为y与x有线性相关关系．
判断两个变量具有相关关系的方法
(1)根据直观感觉判断，这时要用到已有的知识或生活、学习中的经验等．
(2)根据散点图判断，这时要由两个变量相应值的对应关系，作出散点图，通过观察散点图中变量的对应点是否分布在某条曲线的周围判定这两个变量是否具有相关关系．
[活学活用]
两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，判断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．
表1
A
26
18
13
10
4
－1
B
20
24
34
38
50
64
表2
C
0
5
10
15
20
25
30
35
D
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1
034.75
解：散点图分别如图(1)，(2)．
从图中可以看出两图中的点都分布在一条曲线附近，因此两图中的变量都具有相关关系．
图(1)中A的值由大变小时，B的值却是由小变大．
图(2)中C的值由小变大时，D的值也是由小变大.
曲线拟合与应用
[典例]
某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)根据表中的数据制成散点图，你能从散点图中发现广告费支出与销售额之间的近似关系吗？
(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来表示这种线性关系．
(3)如果广告费支出为7百万元，请估计此时的销售额为多少．
[解]
(1)散点图如图所示．从散点图中，可以看出广告费支出与销售额之间的总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的．
(2)所画直线如图．
(3)根据表中的数据和画出的直线，可知广告费支出为7百万元时，销售额大约为64百万元．
画拟合曲线时，应注意以下两点
(1)使尽可能多的点在曲线上；
(2)不在曲线上的点尽可能平均分布在曲线两边．
[活学活用]
如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．
解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D点．
答案：D
[层级一
学业水平达标]
1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为(
)
A．学生的座号与数学成绩
B．学生的学号与身高
C．曲线上的点与该点的坐标
D．学生的身高与体重
解析：选D
A与B中的两个变量之间没有任何关系；C中的两个变量之间具有函数关系．故选D.
2．下列关系中，是相关关系的有(
)
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
解析：选A
学生的学习态度与教师的教学水平都影响学生的学习成绩，但不存在确定性关系；学生的身高和家庭经济条件与学生的成绩无关，所以具有相关关系的是①②.
3．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是(
)
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
解析：选D
具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．
4．下列说法中正确的有________(填序号)．
①y＝3x＋2中的x，y是具有函数关系的两个变量；
②商品的销售量与商品的价格之间是一种确定的关系；
③天空中的云量和下雨之间是一种确定的关系．
解析：②③中两个变量之间是相关关系．
答案：①
[层级二
应试能力达标]
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(
)
A．瑞雪兆丰年
B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
解析：选D
“瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反映，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是(
)
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
解析：选C
给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定都能分析出两个变量的关系，更不一定是具有线性相关或函数关系．
3．下列说法正确的是(
)
A．相关关系是函数关系
B．函数关系是相关关系
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
解析：选D
函数关系和相关关系互不包含，所以A、B、C三项不正确；根据定义，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系．
4．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是(
)
答案：C
5．以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据：
房屋大小(m2)
11.5
110
80
135
105
销售价格(万元)
4.8
21.6
18.4
29.2
22
则根据数据可以判断x，y________相关关系．(填“有”或“无”)
解析：房屋大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此，两个变量有相关关系．
答案：有
6．2015年国庆节期间，某旅行社接待游客人数如下表：
日期
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
人数
3
500
3
501
3
504
3
506
3
506
3
508
3
507
下列说法正确的是________(填序号)．
①根据数据作出散点图，可知日期与人数具有相关关系；
②根据数据作出散点图，可知日期与人数不具有相关关系；
③根据数据作出散点图，可知日期与人数具有线性相关关系．
解析：画出散点图，可知①③正确．
答案：①③
7．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________．
①球的体积和它的半径；
②人的血压和体重；
③底面积为定值的长方体的体积和高；
④城镇居民的消费水平和平均工资．
答案：①③
8．对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5日～20日鸡的日龄与胚胎的质量如下表：
日龄/天
5
6
7
8
9
10
11
12
胚重/g
0.250
0.498
0.846
1.288
1.656
2.662
3.100
4.576
日龄/天
13
14
15
16
17
18
19
20
胚重/g
6.518
7.486
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
解：(1)以鸡胚胎的日龄为x轴，以胚重为y轴，作出散点图，如图所示．
(2)从散点图观察，许多点不在同一直线附近，但可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以具有相关关系．
9．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
(1)作出散点图；
(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？
(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
(4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？
解：(1)散点图如图所示.
(2)从上图看基本近似成线性相关关系．
(3)直线如上图所示．
(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好．