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椭圆知识点总结及经典习题

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椭圆知识点总结及经典习题 本文简介:圆锥曲线与方程--椭圆知识点一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段,无轨迹)。2.标准方程

椭圆知识点总结及经典习题 本文内容:

圆锥曲线与方程--椭圆

知识点

一.椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P|

|PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};

这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

(时为线段,无轨迹)。

2.标准方程:

①焦点在x轴上:(a>b>0);

焦点F(±c,0)

②焦点在y轴上:(a>b>0);

焦点F(0,±c)

注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:

或者

mx2+ny2=1

二.椭圆的简单几何性质:

1.范围

(1)椭圆(a>b>0)

横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b

(2)椭圆(a>b>0)

横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

(2)线段A1A2,B1B2

分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率

(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,

记作e(),

是圆;

e越接近于0

(e越小),椭圆就越接近于圆;

e越接近于1

(e越大),椭圆越扁;

注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。

小结一:基本元素

(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量),

特征三角形

(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)

(3)基本线:对称轴(共两条线)

5.椭圆的的内外部

(1)点在椭圆的内部.

(2)点在椭圆的外部.

6.几何性质

(1)点P在椭圆上,

最大角

(2)最大距离,最小距离

7.

直线与椭圆的位置关系

(1)

位置关系的判定:联立方程组求根的判别式;

(2)

弦长公式:

(3)

中点弦问题:韦达定理法、点差法

例题讲解:

一.椭圆定义:

1.方程化简的结果是

2.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是

3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为

二.利用标准方程确定参数

1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是

.

(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是

.

(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是

.

(4)表示椭圆,则实数k的取值范围是

.

2.椭圆的长轴长等于

,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是

,离心率等于,3.椭圆的焦距为,则=

4.椭圆的一个焦点是,那么

三.待定系数法求椭圆标准方程

1.若椭圆经过点,,则该椭圆的标准方程为

2.焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为

3.焦点在轴上,,椭圆的标准方程为

4.

已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。

四.焦点三角形

1.椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是

2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?

3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为

变式:已知椭圆,焦点为、,是椭圆上一点.

若,

求的面积.

五.离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为,则

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为

3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。

5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率

六、最值问题:

1、已知椭圆,A(1,0),P为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值

最小值

2.椭圆两焦点为F1、F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值为_____,

七、弦长、中点弦问题

1、已知椭圆及直线.

(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?

(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程.

2已知椭圆,

(1)求过点(1,0)且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程

(2)求过点且被平分的弦所在直线的方程;

同步测试

1已知F1(-8,0),F2(8,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=16,则点P的轨迹为(

)

A

B

椭圆

C线段

D

直线

2、椭圆左右焦点为F1、F2,CD为过F1的弦,则CDF1的周长为______

3已知方程表示椭圆,则k的取值范围是(

)

A

-10

C

k≥0

D

k>1或k0)有

(A)相等的焦距

(B)相同的离心率

(C)相同的准线

(D)以上都不对

11、椭圆与(0b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2,它们的交点在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是(

)

A.(0,1)

B.

C.

D.

2.椭圆+=1的焦点为F1、F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是(

)

A.

B.

C.

D.

3.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于(

)

4已知点F,A分别是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,B(0,b)满足·=0,则椭圆的离心率等于(

)

A.

B.

C.

D.

5.已知椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2,过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点,以下结论中:①△ABF1的周长为8;②原点到l的距离为1;③|AB|=;正确结论的个数为(

)

A.3

B.2

C.1

D.0

6.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(

)

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

7.过椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=90°(O为坐标原点),则椭圆C的离心率为________.

8若椭圆+=1(a>b>0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是________.

9.已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.

10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4.

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标;

.

11.椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.

(1)求椭圆E的方程;

8

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