高考数列专题总结(全是精华) 本文关键词：数列，高考，精华，专题
高考数列专题总结(全是精华) 本文简介：数列专题复习（0929）一、证明等差等比数列1．等差数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等差中项法：2．等比数列的证明方法：（1）定义法：(常数)（2）等比中项法：例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．解：设等
高考数列专题总结(全是精华) 本文内容：
数列专题复习（0929）
一、
证明等差等比数列
1．
等差数列的证明方法：
（1）定义法：(常数)
（2）等差中项法：
2．等比数列的证明方法：
（1）定义法：(常数)
（2）等比中项法：
例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，
Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．
解：设等差数列｛an｝的公差为d，则
Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即
解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．
∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n．
例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：
3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）
求证：数列{an}是等比数列；
解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=
又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①
3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t
②
①－②得3tan－（2t+3）an－1=0
∴，（n=2，3，…）
所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.
练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1）
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）
设Tn=(1+a1)
(1+a2)
…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
答案
.(2),;
二．通项的求法
（1）利用等差等比的通项公式
(2)累加法：
例3．已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
（3）构造等差或等比
或
例4．已知数列满足
求数列的通项公式；
解：
是以为首项，2为公比的等比数列。
即
例5．已知数列中，,，求.
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：,所以.
练习:已知数列满足，且。
（1）求；（2）求数列的通项公式。
解：（1）
（2）
∴
（4）利用
例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数
，.求数列的通项公式；
解：
……2分
当
当……4分
练习：1.
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解:
∵10Sn=an2+5an+6，
①
∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得
10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0
，
∴an－an－1=5
(n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73
a1，
a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，
a3=12，
a15=72，
有
a32=a1a15
，
∴a1=2，
∴an=5n－3
2．设数列的前项的和
，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
解：（I），解得：
所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得：
（其中n为正整数）
（II）
所以：
（5）累积法
转化为，逐商相乘.
例7．已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
练习：1.已知，
，求。
解：
。
2．已知数列{an}，满足a1=1，
(n≥2)，
则{an}的通项
解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。
例8：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
练习：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为
1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n31）
三．数列求和
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、错位相减法求和
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
例9．
求和：
解：由题可知，设………………………①
…②（设制错位）
①－②得
（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。
∴
练习：
求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
…………②
①－②得
∴
4、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
5、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例10．
求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）
当时，＝
6、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）
（1）为等差数列，
（2）
例11．
求数列的前n项和.
解：设，则
＝
例12．
在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解：
∵
∴
数列{bn}的前n项和：
＝
＝
练习：
1．已知数列{}的前项和为，且满足
。求数列{}的通项公式；
解：（1）数列{}的前项和为，且满足
则
（）
相减得：
（）
又当n=1时，，
，
{}是以为首项，公比的等比数列
（）
2．已知数列：
①求证数列为等差数列，并求它的公差
②设，求。
解：①由条件，
∴；∴
故为等差数列，公差
②
又知
∴
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