考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文关键词：行列式，线性代数，矩阵，考研，精华
考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文简介：线代框架之行列式和矩阵注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注：√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：
考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文内容：
线代框架之行列式和矩阵
注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.
注：
√
关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
行列式的定义
√
行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若都是方阵（不必同阶）,则
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
⑤范德蒙德行列式：
矩阵的定义
由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或
伴随矩阵
，为中各个元素的代数余子式.
√
逆矩阵的求法:
①
注：
②
③
√
方阵的幂的性质：
√
设的列向量为,的列向量为，
则
，为的解可由线性表示.
同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
√
用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√
两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√
分块矩阵的转置矩阵：
分块矩阵的逆矩阵：
分块对角阵相乘：
分块对角阵的伴随矩阵：
√
矩阵方程的解法()：设法化成
矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.
√
判断是的基础解系的条件：
①
线性无关；
②
都是的解；
③
.
①
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
②
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
⑥
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
⑦
向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
⑧
维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
⑨
.
⑩
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
?
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.
行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵
可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵
?
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√
矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；
对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
?
若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：线性无关.
√
初等矩阵的性质：
9
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
（无条件恒成立）
标准正交基
个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
.
是单位向量
.
√
内积的性质：
①
正定性：
②
对称性：
③
双线性：
正交矩阵
√
为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.
√
正交矩阵的性质：①
；
②
；
③
正交阵的行列式等于1或-1；
④
是正交阵,则，也是正交阵；
⑤
两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥
的行（列）向量都是单位正交向量组.