双曲线题型归总结教师版-推荐-有答案 本文关键词：双曲线，题型，答案，推荐，教师版
双曲线题型归总结教师版-推荐-有答案 本文简介：双曲线题型总结题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2,0)．由正弦定理得s
双曲线题型归总结教师版-推荐-有答案 本文内容：
双曲线题型总结
题型一
双曲线定义的应用
1、如图所示，在△ABC中，已知|AB|=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解
：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A(2,0)、B(2,0
)．
由正弦定理得sinA
=
，sinB
=，sinC
=.
∵2sinA+sinC=2sinB，∴2a+c=2b，即ba=.
从而有|CA|
|CB|=|AB|=2)．
【反思感悟】
使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF1||PF2||=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支．
2、P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．
解
在双曲线－＝1中，a＝4，b＝2.
故c＝6.由P是双曲线上一点，
得||PF1|－|PF2||＝8.
∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.
又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝17.
3、已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．
解
设F(x，y)为轨迹上任意一点，
∵A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝2
∴F的轨迹方程为：y2－＝1
(y≤－1)．
题型二
由方程研究几何性质
4、求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解
把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，
虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，
焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x.
【反思感悟】
求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式－＝1
(或－＝1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.
5．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(
)
A．k5
D．－25
解析
由题意知：(|k|－2)(5－k)5，或－20，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二
将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以
2a＝|－
|
＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法三
若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为＋＝1(270，b>0)的一条渐近线为y＝kx
(k>0)，离心率e＝k，则双曲线方程为(
)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析
双曲线的渐近线方程可表示为y＝±x，由已知可得k＝.又离心率e＝＝k，所以k＝.
即＝，故a＝2b.
答案
C
10、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．
解析
双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x＋y＝0，
∴1＝＝，∴a＝2.
又＝，∴b＝，
∴双曲线方程为－y2＝1.
题型四
双曲线的实际应用
11、A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6
km，C在B的北偏西30°相距4
km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4
s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．
解
以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上
∵kBC＝－，BC中点D(－4，)
∴直线PD：y－＝(x＋4)①
又|PB|－|PA|＝4，
∴P在以A、B为焦点的双曲线右支上
设P(x，y)则双曲线方程为－＝1(x＞0)②
联立①、②式得x＝8，y＝5，
∴P(8,5)，因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
12、已知A、B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
解
如图所示，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA||PB|=340×2=680，
即2a=680，a=340.
又|AB|=800，所以2c=800，c=400，
b2=c2a2=44
400.
因为|PA||PB|=340×2=680>0，所以x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
（x>0.）
知识点五
求双曲线的离心率
13、(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________；
(2)设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
解析
(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，依题意，＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意＝，e2＝＝＝1＋＝，
∴e＝.
(2)直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有＝c，即ab＝c2.
两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.
即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4，或e2＝，
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2，故e2＝4，∴e＝2.
答案
(1)或
(2)2
14、．(全国Ⅱ高考)设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(
)
A．(，2)
B．(，)
C．(2,5)
D．(2，)
解析
∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝.
∴e＝＝＝.
又∵a>1，∴00,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.
2.双曲线的离心率e
=
的取值范围是(1,+∞),其中c2=a2+b2,且=,离心率e越大,双曲线的开口越大.
3.双曲线
(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,也可记为;与双曲线具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为
(λ≠0).
知识点六
直线与双曲线
15、直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.
解
设直线l的方程为y＝2x＋m，
由
得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由韦达定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
∴直线l在y轴上的截距为±.
知识点一
直线与双曲线的位置关系
16、已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．
解
由消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)
①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．
③即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，当－＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点．
当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点．
当k＜－或k＞时，直线与双曲线没有公共点．
【反思感悟】
讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性．
17、过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，这样的直线有(
)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析
右焦点坐标为(，0)，把x＝代入双曲线方程得：y＝±2，即当直线过右焦点．垂直于x轴时，l与双曲线交的弦长|AB|＝4，当l与x轴重合时，|AB|＝2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|＝4，故选C.
知识点七、焦点三角形问题
18、F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是(
)
A．2
B．4
C．8
D．16
解析
方程变形为y2－＝1，
由题意
由①式两边平方得：20－2|PF1||PF2|＝4，
∴|PF1||PF2|＝8，
S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×8＝4.
19．椭圆＋y2＝1(m>1)与双曲线－y2＝1(n>0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求△F1PF2的面积．
解
根据椭圆与双曲线焦点都在x轴上，不妨设P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有
可解得|PF1|＝m＋n，|PF2|＝m－n，
即|PF1|2＋|PF2|2＝2(m2＋n2)．
又∵两者有公共焦点，设半焦距为c.
则m2－1＝c2，n2＋1＝c2，∴m2＋n2＝2c2.
∴|F1F2|2＝4c2＝2(m2＋n2)，
∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴∠F1PF2＝90°.
又∵m2－1＝n2＋1＝c2，∴m2－n2＝2.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|
＝[(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2]
＝(m2－n2)＝1.
所以△F1PF2的面积为1.