一、函数自身的对称性探究
定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是
f(x)+f(2a-x)=2b
证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘(2a-x，2b-y)也在y=f(x)图像上，∴2b-y=f(2a-x)
即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)
∵f(x)+f(2a-x)=2b∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P‘(2a-x0，2b-y0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)(证明留给读者)
推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)
定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，
∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x得：
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得：
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得：
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。
定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P‘(x1，y1)，则x1=a+y0,y1=x0-a，∴x0=a+y1,y0=x1-a代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1)∴点P‘(x1，y1)在函数x-a=f(
(y+a)的图像上。
同理可证：函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
函数
对称中心坐标
对称轴方程
y=sinx
(kπ,0)
x=kπ+π/2
y=cosx
(kπ+π/2,0)
x=kπ
y=tanx
(kπ/2,0)
无
注：①上表中k∈Z
②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是()(第十二届希望杯高二第二试题)
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=()。
(A)1999;(B)xxxx;(C)xxxx;(D)xxxx。
解：∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，
∴y=g-1(x-2)反函数是y=f(x-1)，而y=g-1(x-2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=xxxx
故f(4)=xxxx,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时，
f(x)=-x，则f(8.6)=_________(第八届希望杯高二第一试题)
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴;
又∵f(1+x)=f(1-x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=
解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+
∴x=-,显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时，
f(x)=x，则f(7.5)=()
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1-x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5)
=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B)
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是
f(x)+f(2a-x)=2b
证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘(2a-x，2b-y)也在y=f(x)图像上，∴2b-y=f(2a-x)
即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b，必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)
∵f(x)+f(2a-x)=2b∴f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P‘(2a-x0，2b-y0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)(证明留给读者)
推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)
定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，
∴f(x)+f(2a-x)=2c，用2b-x代x得：
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得：
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得：
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。
定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P‘(x1，y1)，则x1=a+y0,y1=x0-a，∴x0=a+y1,y0=x1-a代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1)∴点P‘(x1，y1)在函数x-a=f(
(y+a)的图像上。
同理可证：函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
函数
对称中心坐标
对称轴方程
y=sinx
(kπ,0)
x=kπ+π/2
y=cosx
(kπ+π/2,0)
x=kπ
y=tanx
(kπ/2,0)
无
注：①上表中k∈Z
②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是()(第十二届希望杯高二第二试题)
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=()。
(A)1999;(B)xxxx;(C)xxxx;(D)xxxx。
解：∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，
∴y=g-1(x-2)反函数是y=f(x-1)，而y=g-1(x-2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=xxxx
故f(4)=xxxx,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时，
f(x)=-x，则f(8.6)=_
________(第八届希望杯高二第一试题)
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴;
又∵f(1+x)=f(1-x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是()(92全国高考理)(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=
解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+
∴x=-,显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选(A)
例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时，
f(x)=x，则f(7.5)=()
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1-x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5)
=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B)