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朝阳区高三数学一模试题理

日期:2019-05-16  类别:学科试卷  编辑:学科吧  【下载本文Word版

朝阳区高三数学一模试题理

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1)复数在复平面内对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(2)已知集合,集合,则

(A)(B)(C)(D)

(3)已知平面向量,满足,,则与的夹角为

(A)(B)(C)(D)

(4)如图,设区域,向区域内

随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落

入到阴影区域的概率为

(A)(B)

(C)(D)

(5)在中,,,则“”

是“”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为

(A)(B)

(C)(D)

高三数学一模试题(7)已知函数.下列命题:

①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;

③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点,其中正确命题的序号是

(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④

(8)直线与圆交于不同的两点,,且,其中是坐标原点,则实数的取值范围是

(A)(B)

(C)(D)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.

(9)在各项均为正数的等比数列中,,,则该数列的前4项和

为.

(10)在极坐标系中,为曲线上的点,为曲线上的点,则线段

长度的最小值是.

(11)某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积

为;表面积为.

(12)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是,则;

此双曲线的离心率为.

(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张,标号分别为1,2,3的

蓝色卡片3张,现将全部的6张卡片放在2行3列的格内

(如图).若颜色相同的卡片在同一行,则不同的放法种数

为.(用数字作答)

(14)如图,在四棱锥中,底面.底面为梯形,,∥,,.若点是线段上的动点,则满足的点的个数是.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

(15)(本小题满分13分)

已知函数,.

(Ⅰ)求的值及函数的最小正周期;

(Ⅱ)求函数在上的单调减区间.

(16)(本小题满分13分)

某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:

一般良好优秀

一般

良好

优秀

例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人.由于部分数据丢失,只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.

(I)求,的值;

(II)从参加测试的位学生中任意抽取位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思

维能力优秀的学生的概率;

(III)从参加测试的位学生中任意抽取位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

生人数为,求随机变量的分布列及其数学期望.

(17)(本小题满分14分)

如图,四棱锥的底面为正方形,侧面底面.为等腰直角三角形,且.,分别为底边和侧棱的中点.

(Ⅰ)求证:∥平面;

(Ⅱ)求证:平面;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

(18)(本小题满分13分)

已知函数,.

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数在区间的最小值为,求的值.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆经过点,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)直线与椭圆交于两点,点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点,试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

(20)(本小题满分13分)

从中这个数中取(,)个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为.

(Ⅰ)当时,写出所有可能的递增等差数列及的值;

(Ⅱ)求;

(Ⅲ)求证:.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案(理工类)xxxx.3

一、选择题

题号12345678

答案BABABDCD

二、填空题

题号91011121314

答案

2

2

三、解答题

15.(本小题满分13分)

解:

.

(Ⅰ).

显然,函数的最小正周期为.……………8分

(Ⅱ)令得

又因为,所以.

函数在上的单调减区间为.……………13分

16.(本小题满分13分)

解:(I)设事件:从位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知,运

动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人.

则.

解得.

所以.……………4分

(II)设事件:从人中任意抽取人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有人.

则.……………7分

(III)的可能取值为,,.

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人.

所以,

.

所以的分布列为

所以,.……………13分

17.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明:取的中点,连接,.

因为,分别是,的中点,

所以是△的中位线.

所以∥,且.

又因为是的中点,且底面为正方形,

所以,且∥.

所以∥,且.

所以四边形是平行四边形.

所以∥.

又平面,平面,

所以平面.……………4分

(Ⅱ)证明:因为平面平面,

,且平面平面,

所以平面.

所以,.

又因为为正方形,所以,

所以两两垂直.

以点为原点,分别以为轴,

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知,

设,则

,,,,,,.

因为,,,

且,

所以,.

又因为,相交于,所以平面.……………9分

(Ⅲ)易得,.

设平面的法向量为,则

所以即

令,则.

由(Ⅱ)可知平面的法向量是,

所以.

由图可知,二面角的大小为锐角,

所以二面角的余弦值为.……………14分

18.(本小题满分13分)

解:函数的定义域是,.

(Ⅰ)(1)当时,,故函数在上单调递减.

(2)当时,恒成立,所以函数在上单调递减.

(3)当时,令,又因为,解得.

①当时,,所以函数在单调递减.

②当时,,所以函数在单调递增.

综上所述,当时,函数的单调减区间是,

当时,函数的单调减区间是,单调增区间为.…7分

(Ⅱ)(1)当时,由(Ⅰ)可知,在上单调递减,

所以的最小值为,解得,舍去.

(2)当时,由(Ⅰ)可知,

①当,即时,函数在上单调递增,

所以函数的最小值为,解得.

②当,即时,函数在上单调递减,

在上单调递增,所以函数的最小值为,

解得,舍去.

③当,即时,函数在上单调递减,

所以函数的最小值为,得,舍去.

综上所述,.……………13分

19.(本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由题意得,解得,.

所以椭圆的方程是.……………4分

(Ⅱ)以线段为直径的圆过轴上的定点.

由得.

设,则有,.

又因为点是椭圆的右顶点,所以点.

由题意可知直线的方程为,故点.

直线的方程为,故点.

若以线段为直径的圆过轴上的定点,则等价于恒成立.

又因为,,

所以恒成立.

所以.

解得.

故以线段为直径的圆过轴上的定点.……………14分

20.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.

所以.……………3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为,公差为,.

,,的可能取值为.

对于给定的,,当分别取时,可得递增等差数列个(如:时,,当分别取时,可得递增等差数列91个:;;;,其它同理).

所以当取时,可得符合要求的等差数列的个数为:

.……………8分

(Ⅲ)设等差数列首项为,公差为,

,,

记的整数部分是,则,即.

的可能取值为,

对于给定的,,当分别取时,可得递增等差数列个.

所以当取时,得符合要求的等差数列的个数

易证.

又因为,,

所以.

所以

.

即.……………13分

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