朝阳区高三数学一模试题理
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
(1)复数在复平面内对应的点位于
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(2)已知集合，集合，则
(A)(B)(C)(D)
(3)已知平面向量，满足，，则与的夹角为
(A)(B)(C)(D)
(4)如图，设区域，向区域内
随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落
入到阴影区域的概率为
(A)(B)
(C)(D)
(5)在中，，，则“”
是“”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为
(A)(B)
(C)(D)
高三数学一模试题(7)已知函数.下列命题：
①函数的图象关于原点对称;②函数是周期函数;
③当时,函数取最大值;④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是
(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④
(8)直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是
(A)(B)
(C)(D)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
(9)在各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的前4项和
为.
(10)在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段
长度的最小值是.
(11)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
为;表面积为.
(12)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则;
此双曲线的离心率为.
(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内
(如图).若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数
为.(用数字作答)
(14)如图，在四棱锥中，底面.底面为梯形，，∥,，.若点是线段上的动点，则满足的点的个数是.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
已知函数，.
(Ⅰ)求的值及函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在上的单调减区间.
(16)(本小题满分13分)
某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
一般良好优秀
一般
良好
优秀
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人.由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(I)求，的值;
(II)从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率;
(III)从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望.
(17)(本小题满分14分)
如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面.为等腰直角三角形，且.，分别为底边和侧棱的中点.
(Ⅰ)求证：∥平面;
(Ⅱ)求证：平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
已知函数，.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间的最小值为，求的值.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆经过点，离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点.直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标;若不是，说明理由.
(20)(本小题满分13分)
从中这个数中取(，)个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为.
(Ⅰ)当时，写出所有可能的递增等差数列及的值;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)求证：.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案(理工类)xxxx.3
一、选择题
题号12345678
答案BABABDCD
二、填空题
题号91011121314
答案
2
2
三、解答题
15.(本小题满分13分)
解：
.
(Ⅰ).
显然，函数的最小正周期为.……………8分
(Ⅱ)令得
，
又因为，所以.
函数在上的单调减区间为.……………13分
16.(本小题满分13分)
解：(I)设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知，运
动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人.
则.
解得.
所以.……………4分
(II)设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人.
则.……………7分
(III)的可能取值为，，.
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人.
所以，
，
.
所以的分布列为
所以，.……………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明：取的中点，连接，.
因为，分别是，的中点，
所以是△的中位线.
所以∥，且.
又因为是的中点，且底面为正方形，
所以，且∥.
所以∥，且.
所以四边形是平行四边形.
所以∥.
又平面，平面，
所以平面.……………4分
(Ⅱ)证明：因为平面平面，
，且平面平面，
所以平面.
所以，.
又因为为正方形，所以，
所以两两垂直.
以点为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系(如图).
由题意易知，
设，则
，，，，,,.
因为，，，
且，
所以，.
又因为，相交于，所以平面.……………9分
(Ⅲ)易得，.
设平面的法向量为，则
所以即
令，则.
由(Ⅱ)可知平面的法向量是，
所以.
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.……………14分
18.(本小题满分13分)
解：函数的定义域是，.
(Ⅰ)(1)当时，，故函数在上单调递减.
(2)当时，恒成立，所以函数在上单调递减.
(3)当时，令，又因为，解得.
①当时，，所以函数在单调递减.
②当时，，所以函数在单调递增.
综上所述，当时，函数的单调减区间是，
当时，函数的单调减区间是，单调增区间为.…7分
(Ⅱ)(1)当时，由(Ⅰ)可知，在上单调递减，
所以的最小值为，解得，舍去.
(2)当时，由(Ⅰ)可知，
①当，即时，函数在上单调递增，
所以函数的最小值为，解得.
②当，即时，函数在上单调递减，
在上单调递增，所以函数的最小值为，
解得，舍去.
③当，即时，函数在上单调递减，
所以函数的最小值为，得，舍去.
综上所述，.……………13分
19.(本小题满分14分)
解：(Ⅰ)由题意得，解得，.
所以椭圆的方程是.……………4分
(Ⅱ)以线段为直径的圆过轴上的定点.
由得.
设，则有，.
又因为点是椭圆的右顶点，所以点.
由题意可知直线的方程为，故点.
直线的方程为，故点.
若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立.
又因为，，
所以恒成立.
，
所以.
解得.
故以线段为直径的圆过轴上的定点.……………14分
20.(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.
所以.……………3分
(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，.
，，的可能取值为.
对于给定的，，当分别取时，可得递增等差数列个(如：时，，当分别取时，可得递增等差数列91个：;;;，其它同理).
所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为：
.……………8分
(Ⅲ)设等差数列首项为，公差为，
，，
记的整数部分是，则，即.
的可能取值为，
对于给定的，，当分别取时，可得递增等差数列个.
所以当取时，得符合要求的等差数列的个数
易证.
又因为，，
所以.
所以
.
即.……………13分
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