桥梁结构振动与稳定分析研究报告 本文关键词：研究报告，振动，桥梁，稳定，结构
桥梁结构振动与稳定分析研究报告 本文简介：东南大学—交通学院东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板
桥梁结构振动与稳定分析研究报告 本文内容：
东南大学—交通学院
东南大学(2014～2015)年第一学期
桥梁结构振动与稳定分析研究报告
成
绩：
姓
名：
高明天
学
号：
145511
专
业：
桥梁与隧道工程
授课教师：
万
水
日
期：
2015年1月
目录
2薄板的振动理论及应用
2.1薄板的自由振动
薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。
设薄板在平衡位置的挠度为，这时，薄板所受的横向静荷载为。则薄板的弹性曲面微分方程为：
（a)
式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力和它所受的横向荷载q成平衡。
设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力成平衡，即
（b)
薄板的加速度是，因而每单位面积上的惯性力是
其中为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为
(c)
将式（c）与式（a)相减，得到
由于不随时间改变，，所以上式可以改写成为
(d)
命薄板在任意瞬时的挠度为，而式(d)成为
或
（2-1）
这就是薄板自由振动的微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式的解答：
（2-2）
在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数标示的。
为了求出各种振形下的振形函数，以及与之相应的频率，我们取
代入式(2-1),然后消去因子，得出所谓振形微分方程
（2-3）
如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式
（e）
求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板的为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命
（2-4)
则方程（2-3)简化为常系数微分方程
（2-5）
现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为及，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数及。
设初始条件为
则由（2-2）式得
于是可见，为了求得及，必将已知的初挠度及初速度展为的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。
2.2四边简支的矩形薄板的自由振动
取振形函数为
（2a）
其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得
图2-1
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有
（2b）
将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式
（2c）
命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率
（2-6）
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
而薄板的挠度为
（2d)
则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为
（2e)
初挠度及初速度标示成振形函数的级数为：
（2f)
按照级数展开的公式，有
（2-7）
根据初始条件
由式（2e)及式（2f)得
由此得
代入式（2e),即得完整的解答如下：
（2-8）
2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动
设薄板的x=0及x=a的两边为简支边。取振形函数为
（3a)
其中Ym只是y的函数，可以满足该简支边的边界条件。将式（3a）代入（2-5），得出常微分方程
（3b）
它的特征方程式
图2-2
而这个代数方程的四个根是
（3c）
大多数情况，，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做
注意，取正实数
（3d)
则上述四个跟成为及，而式（b)的解答可以写成
从而得振形函数的表达式
（2-9）
在少数情况下，，而式（3c)所示的四个跟都是实根。这时，取正实数
（3e）
则振形函数的表达式成为
（2-10）
其中至由y=0及y=b处的四个边界条件求出。
2.4圆形薄板的自由振动
薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即
（4a)
但其中，而
仍把方程（4a）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即
（4b）
为了求出及相应的，取
（4c）
代入方程（a)，仍得
（其）
（4d）
方程（4d）可以改写为
也就是
（4e）
显然（4e）的解也是（4d)的解。
取
，
n=0,1,2,.
（4f）
将式（4f)代入式（4e）,得常微分方程
或引用量纲一的变量而得
这一微分方程的解答是
（4g）
其中及分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数，及分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数。将式（4g）代入（4f）,即得
。
（2-11）
其中至由边界条件求出。
2-5用差分法求自然频率
基于方程（2-3），在任一典型结点0，有。利用差分公式，可得
其中h是网格间距。引用量纲一的常数
（2-13）
则上列差分方程为
。（2-14）
其中可以通过边界条件求得，有了代入（2-13）就可以得到。
2-6用能量法求
2-6.1瑞利法
前边已提到，薄板的瞬时挠度可以表示成为
（6a）
如果以薄板经过平衡位置的瞬时作为初瞬时（t=0），则有
由此可见A=0。将常数B归入，则式（a)简化为
（6b）
速度的表达式为
（6c）
为了简便，假定薄板并不受有静荷载，于是静挠度，而薄板的平衡位置就相应于无挠度时的平面状态。这样，由式（6b)及式（6c）可见，当薄板距平衡位置最远时，则有，，，从而有。这时，薄板的动能为零而形变势能达到最大值。这个最大势能是
（2-15）
如果在薄板只有夹支边和简支边的情况下，上式简化为
（2-16）
当薄板经过平衡位置时，我们有，，,速度达到最大值。这时，薄板的形变势能为零，而动能达到最大值。按照式（6c),这个最大动能是
（2-17）
根据能量守恒定理有，即
这是的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求解的方程。
2-6.2里茨法
为了求得比较精确的最低自然频率，里茨建议把振形函数取为
（2-18）
其中是满足边界条件的设定函数，是互不依赖的待定函数。选使得为最小，即
（2-19）
这是的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求的方程。
对于圆形薄板，宜用极坐标进行分析。为此，振形函数须改用极坐标表示，即
（2-20）
与此相应，也须改用极坐标表示，可得
（2-21）
当全部边界为夹支边时，可得
（2-22）
同样，也须改用极坐标表示，可得
（2-23）
对于圆形薄板的轴对称自由振动，可得
（2-24）
当全部边界为夹支边时，可得
（2-25）
最大动能的公式（2-23）则简化为
（2-26）
当薄板上尚有集中质量随同薄板振动时，还须按照设定的振形函数W，求出集中质量的最大动能，计入，然后进行计算。
2-7用能量法求自然频率举例
例题1：图2-3中所示的夹支边矩形薄板，用瑞利法求最低。把振形函数取为
（7a）
可以满足位移边界条件。代入公式（2-16），得到
图2-3
将式(7a)代入公式（2-17），假定为常量，得
于是由得出
从而得到
（7b）
对于正方形薄板，a=b，我们得到
与精确解答几乎一致。
例题2：考虑四边简支的矩形薄板，图2-4，用里茨法求最低自然频率。取振形函数为
（7c）
可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件）。代入公式（2-16），得
图2-4
将式（7c)代入公式（2-17），假定为常量，得
于是由得出
命方程的系数行列式等于零（即该系数等于零），得到
与精确解相同
例题3：考虑半径为a的夹支边圆板，用瑞利法求最低自然频率。取振形函数为
（7d）
可以满足边界条件。代入公式（2-25），得
将式（7d)代入公式（2-26），假定为常量，得
命，即得
比精确解答只大出1%。
2-8薄板的受迫振动
现在来讨论薄板在振动力荷载作用下进行的振动，即所谓受迫振动。薄板的受迫振动微分方程，可以和自由振动微分方程同样的导出如下。
设薄板只受横向静荷载q=q(x,y)而不受任何动力荷载，在发生静挠度以后处于平衡状态，则薄板每单位面积上所受的弹性力，将与静荷载成平衡，即
（8a）
设薄板在动力荷载的作用下进行振动，而在振动过程中任一瞬时的挠度为，则薄板每单位面积上所受的弹性力，将与静荷载q、动荷载及惯性力成平衡，即
（8b）
将惯性力代入上式以后，得
（8c）
将式（8c）与式（8a）相减，得
由于不随时间而变，，所以上式可以改写为
（8d）
注意就是薄板在任一瞬时的、从平衡位置量起的w，即可由上式得
（2-27）
这就是薄板受迫振动微分方程。
为了求解薄板的受迫振动问题，必须首先求解该薄板的自由振动问题，求出它的各种振形的振形函数以及相应的自然频率，然后将它所受的动力荷载展为振形函数的级数，即
（2-28）
现在，把微分方程（2-27）的解答取为如下的形式：
（2-29）
将（2-28）及（2-29）两式代入（2-27）式，得
（8e）
另一方面，由（2-5）及（2-4）两式可得
（8f)
在将式（8f）代入式（8e)的左边，然后比较两边的系数，得
（8g)
常微分方程（8g）的解答可以标示成为
（8h）
其中的是任一特解。系数及则必由初始条件来确定，与自由振动的情况下相同。将式（8h)代入（2-29）式，即得薄板在任一瞬时的挠度：
（2-30）
例题：设简支边矩形薄板受有动力荷载
（8i）
这标示：动力荷载的分布形式保持不变，但它的数量却以频率周期性地随时间变化。
已知简支边矩形薄板的振形函数为
（8j）
首先把动力荷载的表达式（8i）展为振形函数的级数：
（8k）
即
按照重三角级数的展开公式，我们有
（8l）
现在，将式（8k）及式（8j)一并代入（2-28）式，即可见
而常微分方程（8g）成为
这一微分方程的特解可以取为
于是由（2-30）式得挠度的表达式
（8m）
并从而得到速度的表达式
（8n）
设动力荷载开始作用时，薄板是静止地处于平衡位置，则初始条件为
，
由后一条件得，从而由前一条件得
代入式（8m）,即得挠度的最后解答
（8o）
其中的系数如式（8l)所示。
当动力荷载的频率趋于薄板的某一个自然频率时，解答（8o）中相应的一项将具有0/0的形式，不便讨论。因此，利用关系式
将上述一项变换为
当趋于时，这一项成为
它具有因子t，因而随着时间的经过而无线增大，表示共振现象将发生。当然，由于阻尼力的存在，此项振动不会无限增大，但可能增大到一定的数值而使薄板破坏。因此，当设计薄板构件时，和设计其他种构件时一样，必须使薄板的各阶自然频率不会接近动力荷载的频率，通常是使薄板构件的最低自然频率远大于该构件所可能收到的动力荷载的频率。这就说明，在薄板的振动问题中，最低自然频率的计算是重要的问题。
3薄板的稳定理论及应用
3.1薄板受纵横荷载的共同作用
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