高等数学极限方法总结 本文关键词：高等数学，极限，方法
高等数学极限方法总结 本文简介：摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目LimitmethodssummarizeAbstract:Themethodofsequencelimithasbeenintheserie
高等数学极限方法总结 本文内容：
摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，
本文通过归纳和总结，
从不同
的方面罗列了它的几种求法.
关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、
英文题目Limit
methods
summarize
Abstract:
The
method
of
sequence
limit
has
been
in
the
series
a
more
important
problems,this
paper
summed
up
from
different
aspects
and
a
few
of
its
listing
is
also
given.
Key
words:
Higher
mathematics,sequence
limit,definition,los
than
amounting
to
law,一.引言
高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位
，
特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，
没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法
还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代
换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的
四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要
重点注意运用。泰勒公式、
洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。
二.
研究问题及成果
一、
极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1
已知
，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有
（1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限
（1）
（2）
；
说明：(
1
)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.
（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限
成立的条件。
例如：，，；等等。
4．洛比达法则
定理2
无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3
当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～～～～～～
。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：当时，
～
；
～
。
定理4
如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。
5．洛比达法则
定理5
假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在，且等于，即=
。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6
一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有
。
7．极限存在准则
定理7（准则1）
单调有界数列必有极限。
定理8（准则2）
已知为三个数列，且满足：
（1）
（2）
，
则极限一定存在，且极限值也是a
，即。
二、求极限方法举例
1．
利用函数的连续性（定理6）求极限
例4
解：因为是函数的一个连续点，
所以
原式=
。
2．
利用两个重要极限求极限
例5
解：原式=
。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式=
。
例7
解：原式=
。
注：两个重要的极限分别为
limsin
x
1
2
=
1
和
lim
(1
+
)
x
=
e
，对第一个而言是
x→0
x
→∞
x
xX
趋近
0
时候的
sinx
与
x
比值。第2
个实际上如果
x
趋近无穷大和无穷小都有
对有对应的形式。当底数是
1
的时候要特别注意可能是用第2
个重要极限。
3．
利用定理2求极限
例8
解：原式=0
（定理2的结果）。
4．
利用等价无穷小代换（定理4）求极限
这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．
常用等价无穷小：当变量时，
．
例1
求．
解
，
故，原式
例2
求．
解,因此:
原式．
例3
求
．
解
，故:原式=．
例4
求．
解,故:
原式．
例5
试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．
解
而左边，
故
即
．
5.利用洛比达法则求极限
利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.
洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.
洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么
.
[1]
求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.
[3]
例12
（例4）
解：原式=
。（最后一步用到了重要极限）
例13
解：原式=
。
例14
解：原式==
。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15
解：
例18
解：错误解法：原式=
。
正确解法：
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
原式=
（分子、分母同时除以x）
=
（利用定理1和定理2）
注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0
比0
和无穷比无穷时候直接分子分母求导；
（2）
0
乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都
写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成
1
的形式；
（3）
的
0
次方，
0
1
的无穷次方，无穷的
0
次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取
对数的方法，
这
样就能把幂上的函数移下来了，
就是写成
0
与无穷的形式了，
（这就是为什么只有
3
种形式的原因，
）
6.利用极限存在准则求极限
例20
已知，求
解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设
。对已知的递推公式
两边求极限，得：
，解得：或（不合题意，舍去）
所以
。
例21
解：
易见：
因为
，
所以由准则2得：
。
7.直接使用求导的定义求极限
当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：
（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即
；
（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.
例36
，求.
解
.
例37
若函数有连续二阶导数且，，，
则
.
A:不存在
B：0
C：-1
D：-2
解
.
所以，答案为D.
例38
若，求.
解
.
8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]
例33
已知,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.
解
由已知得:
.
（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.
在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：
（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立：
；
（2）设函数在区间上连续，取，如果极限
存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；
设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分：
的步骤是：
首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；
其次，计算的近似值
；
然后，求和，得的近似值
；
最后，求极限，得.
例34
设函数连续，且，求极限
.
解
=
，
.
例35
计算反常积分:
.
解
===.
9.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
利用如下的极限运算法则来求极限：
(1)
如果
那么
若又有，则
（2）如果存在，而为常数，则
（3）如果存在，而为正整数，则
（4）如果，而，则
（5）设有数列和，如果
那么，
当且时，
例1
解：原式=
。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2
解：原式=
。
例3
解：原式
。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
四.
结束语
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。
[参
考
文
献]
[1]
同济大学应用数学系
高等数学
1997
[2]
吉米多维奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.
[3]
陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.
[4]
同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高等数学中求极限的常用方法
41?
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