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北京理工大学自动控制原理辅导班笔记 本文简介：下载、分享专业课笔记上http://www.16fw.com410自动控制原理辅导班笔记——钟海秋教授一、自动控制理论的分析方法：（1）时域分析法；（2）频率法；（3）根轨迹法；（4）状态空间方法；（5）离散系统分析方法；（6）非线性分析方法二、系统的数学模型(1)解析表达：微分方程；差分方程；传
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410自动控制原理辅导班笔记
——钟海秋教授
一、
自动控制理论的分析方法：
（1）时域分析法；
（2）频率法；
（3）根轨迹法；
（4）状态空间方法；
（5）离散系统分析方法；
（6）非线性分析方法
二、系统的数学模型
(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数
(2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线
时域响应分析
一、对系统的三点要求：
(1)必须稳定，且有相位裕量γ和增益裕量
(2)动态品质指标好。、、、σ%
(3)稳态误差小，精度高
二、结构图简化——梅逊公式
例1、
解：方法一：利用结构图分析：
方法二：利用梅逊公式
其中特征式
式中：
为所有单独回路增益之和
为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和
为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和
其中，
为第K条前向通路之总增益；
为从Δ中剔除与第K条前向通路有接触的项；
n
为从输入节点到输出节点的前向通路数目
对应此例，则有：
通路：
，
特征式：
则：
例2：[2002年备考题]
解：方法一：结构图化简
继续化简：
于是有：
结果为
其中=…
方法二：用梅逊公式
通路：
于是：
三、稳态误差
（1）参考输入引起的误差传递函数：；
扰动引起的误差传递函数：
（2）求参考输入引起的稳态误差时。可以用
、、叠加，也可以用终值定理：
（3）求扰动引起的稳态误差
时，必须用终值定理：
（4）对阶跃输入：
，
如，则，
（5）对斜坡输入：，
如，则，
（6）对抛物线输入：，
如，则，
例3：求：，令，求，令
解：结构图化简：
继续化简，有：
当时，求得=。。。；当时，有
求得=…
例4：
令，求，令，求
为了完全抵消干扰对输出的影响，则
解：求，用用梅逊公式：
则：，同理求得=…
若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。
即=0,故=0，所以
例5：[2002年题4]
其中
，，r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动输入。
(1)求误差传递函数
和；
(2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得误差为零？
(3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2
解：
①，
，[N(s)为负]
②
r(t)=t,要求=0.则系统应为Ⅱ型系统,那么n1+n2=2.
③
r(t)=1(t),n(t)=
1(t),要求=0,则n1+n2=1
因为如,则
而事实上：
可见积分环节在部分中，而不在中。
故n1=1，n2=0。就可以实现要求
例6：如图，当时，求稳态输出
解：应用频率法：
，则
四、动态指标
(1)二阶系统传递函数的标准形：
(2)，θ越大，ξ越小
(3)，，（Δ=5%或2%）
例7：如图，要求，试确定参数K，T。
解：，
则，
。由，
，可得ξ=？，T=？
例8：
求：①
选择，，使得σ%≤20%，ts=1.8秒()
②
求、、，并求出时的稳态误差
解：①
由σ%≤20%，则，求得ξ≥…
由，求得≤。。。，从而得、。
②
由传递函数：得，
，，
当时，
频率法
一、基本概念：
G(s)
，输入是正弦信号，稳态输出。如：，
则
二、①
惯性环节
jw
0+
+∞
u
，，
，
0+
+∞
②，，
，
则：，
，
注意：
0+
+∞
因为
③
，（如图3）则
0+
+∞
④
，（如图4）
求w1。因，故
两边取正切：
⑤
，其中，（如图5）
0+
+∞
⑥
增益裕量：，相位裕量：，如图6
注意：用求K；用求w1。
例1：，T1>T2，K=10，作出波德图
例2：[2002年题1]
求：(1)写出开环传递函数
(2)计算系统的相位裕量和增益裕量
(3)做出的Nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性
解：①
可见图中，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。故w2=10不发生作用，所以，故
②
相位裕量：
因为，则
③：则Z=0，N=0，P=0。符合Z=P+N，故稳定
三、Nyquist判据
Z为闭环右半平面根数，P为开环右半平面根数，N为包围-1圈数，顺时针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=0
例3：
解：奈氏曲线如下图。N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。
例4：，如图：N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。
例5：，判断系统是否稳定。
分析：判断稳定性，用劳斯判据：
①
相邻系数必须为正，不能缺项
如：
。显然缺s项，故不稳定。
②
劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号２次，即系统有２个有根，不稳定。
③
系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为０，此行的上一行为辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如
，劳斯阵为：
，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为：
，则与虚轴的交点为。
解：劳斯阵：
，可见系统不稳定，有两个右根。
例６：，
解：劳斯阵：
，因为此处０不能往下计算，换成ε。
，，故系统不稳定。
例７：〈2002年备考题〉单位反馈系统，开环传递函数，
要求：①
画出对数幅频特性，求，判断系统稳定性。
②
加入矫正装置，使扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。
解：①
开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：
，由作图可得，由劳斯判据可知，
，缺项，则系统不稳定。
也可由，
，判定系统不稳定。
也可由零极点判断〈画图〉，不稳定。
②
加入矫正装置是，即
（w1可由图中按比例读出），则。
例8：〈2001年备考题〉
求：①
系统阻尼比ξ=0.5时,②=0时，求σ%，、（）
解：①，则
②=0时，，则，
于是，=…σ%=…
例9〈设计型题，较易，主要考概念〉
求：，①使时，；②使时，
解：①
，〈利用基本概念，不用计算〉
②
，则
故：。
根轨迹法
一、定义：
〈①〉。
其中为根轨迹增益。开环放大倍数
闭环特征方程的根随参数而变化的轨迹，称为根轨迹。
其符合两个条件：
〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹
〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹
〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹
②根轨迹条数=Max（n,m），
起点为开环极点（），终点为开环零点（）
③渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标：
与实轴夹角：。
④分离点与会合点：使，并使>0的点
⑤复数极点出射角：
对非最小相位系统
复数零点的入射角：
对非最小相位系统
⑥与虚轴交点：
（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得
（b）代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得
例1：
解：渐进线（3条）：，
由，则，
，得
与虚轴的交点：方法一
，劳斯阵：
要与虚轴有交点，则有一行全零，即
辅助方程：
方法二
将代入特征方程：
，
则与虚部的交点
根轨迹如下图
例2：
解：渐进线一条。出射角
分离点与会合点：，
故：，则，得，可见根轨迹是圆弧。
证明：取圆弧上一点。
（应用辐角条件）
两边取正切：
可见是圆。
例3：
解：结构图化简,有:
闭环特征方程为,由此画根轨迹图。
也可以由，画根轨迹。
例4：
解：，，
则：
①
α=1，α=9时，有一个分离点
②
当α9时，如取α=10，则，
，根轨迹如上图。
离散系统分析方法
一、采样定理
镜像作用,采样频率
二、①
开环脉冲传递函数
闭环，特征方程
。
②判断稳定性：用双线性变换，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。如果K给定，则直接解特征方程，若|z|1则不稳定。
③，对参考输入有：
④求时，可以用两种方法：
a）部分分式法；b）长除方法
G(s)
⑤z变换公式：
如：
非线性系统分析方法
G(s)
注：1为sinwt；2为基波和高次谐波经过G（s）后剩下的基波。
一、分析方法：
二、描述函数法：
①闭环特征方程：，则
判断是否包围，包围则系统不稳定，不包围则稳定。
如同，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。
②负倒特性：
A点不稳定,自激振荡
B点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳定时要衰减，则系统又回到B点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后又进入稳定区，如此反复，则系统始终稳定再B点附近。
例1：如图。其中：
，
判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整？
解：
例2：
解：，，则合成为：
则，变换成：
再画图分析……
例3：[2002年题5]
其中：。
①讨论参数T为系统自激振荡的影响
②设T=0.25sec，求输出自激振荡的振幅和频率。
解：，
两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N(X)，B点稳定，A点不稳定。
此时，
李雅普诺夫稳定性理论
一、①李氏第一方法：线性化方法
，
线性系统平衡状态只有一个；非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩阵：
，判断其稳定性用特征多项式，然后用劳斯判据。如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；反之，如果线性系统不稳定，则非线性系统不稳定。
如果处于稳定边界（有纯虚根），则不能判定非线性系统的稳定性。
②李氏直接方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉变量梯度法（不考）
二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤：
①先用线性化方法：
，由得，
若：（1），则系统在平衡状态处是不稳定的；
（2），则系统在平衡状态处是渐进稳定的。
（3），中至少有一个实部为0，则此方法失效。
②否则，用克拉索夫斯基方法：
，，当Q(x)正定时，即当主子式均大于零时，且当时，有：
，则系统在平衡状态处大范围渐进稳定。
③最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x)，例如：
，要求V(0)=0，x≠0,V(x)>0。
步骤：1、构造；
2、，将，代入，若为负定，半负定，，有。则系统在处大范围渐进稳定。
例1：使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。
解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法：
，则
且时，有
，故此系统在原点处大范围渐进稳定。
例2：试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。
解：用线性化方法：
，
状态空间分析方法
一、模型的建立
则，
，即：
令，则，
如对，令
则，
或
例1：由传递函数来求
，则
，
则
，即
例2：，
有：即：
可见-2为重根，则此为约当标准型。约当块对应B阵中的行中有一列不为零，则能控；约当块对应C阵中的列中有一列不为零，则能观。
2
2
2
-1
5
3
二、对型题的解答步骤：
①判断系统稳定性：，得，若则系统稳定，否则系统不稳定。
②能控性判别矩阵：
，
若r(M)=n，即满秩，为完全能控，否则不完全能控。
能观性判别矩阵：，若为满秩，为完全能观，否则不完全能观。
注意：如果A是对角阵且没有重根时，则用直接观察的方法判别能控、能观便可。若b中对应的值不为0，则此状态分量能控，若b中全不为0，则为完全能控。若c中对应的值不为0，则此状态分量能观，若c中全不为0，则完全能观。
如果A是对角阵且有重根，或是一般矩阵时，则必须用能控性判别矩阵M和能观性判别矩阵N。
③状态反馈：条件——所调整的极点对应的状态分量必须能控。
原理：
，引入，则有
解题方法：特征多项式=期望多项式，即
。
④状态观测器
条件：系统完全能观，才可用状态观测器
⑤输出可控性矩阵：，若满秩，则输出完全可控，否则输出不完全可控。
例3
、
要求：
(1)判断系统的稳定性
(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并指出各状态分量的能控，能观性
(3)能否用线性状态反馈将原有的极点-1，-2，3调整为-1，-2，-3？若能请计算出K1,K2,K3的值；若不能，请说明原因。
(4)判断系统的输出可控性
解：
(1)显然有+3特征根，则系统不稳定
(2)由B阵知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C阵知不完全能观，x2,x3能观，x1不能观。
(3)能，因为x3时能控的，设，由
，
因此有
(4)输出可控性矩阵，秩为1，可控。
例4
：
，
要求：
(1)判断系统的稳定性
(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。
(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？
(4)能否应用状态观测器？
解：（1）显然ɑ>0，系统不稳定；ɑ=0边界状态；ɑ
要求：
(1)判断系统的稳定性
(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。
(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？
(4)能否应用状态观测器？
解：（1）显然有+1根，则系统不稳定
（2）不完全能控，x1可，x2不可
不完全能观，x1不可，x2可
（3）因为x1能控，则可以改成-1，
设
故
（4）不能，因为系统不完全能观
例6：
要求：①…②…③…
解：
传递函数：
，故
三、状态方程的解，状态转移矩阵
如：，则
齐次，则
。采用变换的方法：,特别当
如果有二重根，则
如果有三重根，则
分块，有：
注意：观测器不考
最后
例1：
设系统的开环传递函数为，试画出Nyquist图，并确定系统的稳定性。
解：T1T2时，显然N=1，P=0，Z=N+P=1，系统不稳定。
例2、
要求：（1）求出闭环系统的特征多项式f(s)；
(2)……(3)……(4)……
解：(1)特征方程为：，则特征多项式为：
(2)零极点：，
渐近线：，
分离点：
三条根轨迹汇合，因为此时K值相同。
例3：
α=9，要求：(1)…(2)…(3)…(4)…
解：
(1)
(2)
(3)
由劳斯判据：，
故当K>15时，系统不稳定，不能计算稳态误差。
(4)当K=5时，
例4：
开环传递函数由最小相位环节组成，其折线对数幅频特性曲线如上图所示
要求：(1)写出开环传递函数
(2)…(3)…(4)…
解：(1)开环传递函数，如图虚线所示。
，故：
(2)
，
因为0.2>0.01，故达不到180度。
(3)如图，P=0，Z=0，N=P+Z=0，系统稳定。
(4)
，
，如图所示：
显然，N=1，P=0，Z=N+P=1，系统不稳定。
结束语
今年可能题多，但不会太难。
以所讲的内容为主，认真复习笔记，不会出问题。
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