xxxx年中考数学押题卷
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在，求点E的坐标;若不存在，请说明理由.
分析(1)已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解.
(2)可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积.(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标.
解答解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1，代入C(O，3)后，得：
a(0﹣2)2﹣1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.
(2)由(1)知，A(1，0)、B(3，0);
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=﹣1
∴直线BC：y=﹣x+3;
由(1)知：抛物线的对称轴：x=2，则D(2，1);
∴AD2=2，AC2=10，CD2=8
即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD;
∴S△ACD=AD•CD=××2=2.
(3)由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即DF∥x轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x2﹣4x+3=1，解得x=2±;
当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣;
当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+;
∴E1(2+，1﹣)、E2(2﹣，1+).
②∠EDF=90°;
易知，直线AD：y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：
x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4;
当x=1时，y=﹣x+3=2;
当x=4时，y=﹣x+3=﹣1;
∴E3(1，2)、E4(4，﹣1);
九年级数学下学期第一次月考卷
九年级数学试题上学期期末试题（带答案）