数论初步(一)
本文作者:高建彪发表时间:2006-4-18
作者单位:东升高中联系方式:
数论初步(一)整数的整除性定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a.显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０.性质：设a，b，c均为非零整数，则①．若c|b，b|a，则c|a.②．若b|a，则bc|ac③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c
证明：因为(a，b)＝1
则存在两个整数s，t，使得
as＋bt＝1
∴asc＋btc＝c
∵b|acÞb|asc
∴b|(asc＋btc)Þb|c⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c
证明：a|c，则c＝as(s∈Z)
又b|c，则c＝bt(t∈Z)
又(a，b)＝1
∴s＝bt'(t'∈Z)
于是c＝abt'
即ab|c⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c⑦．(a－b)|(an－bn)(n∈N)，(a＋b)|(an＋bn)(n为奇数)整除的判别法：设整数N＝①.2|a12|N，
5|a15|N②.3|a1＋a2＋…＋an3|N 9|a1＋a2＋…＋an9|N③.4| 4|N 25| 25|N④.8|8|N 125|125|N⑤．7||－|7|N⑥．11||－|11|N⑦．11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)]
11|N⑧．13||－|13|N推论：三个连续的整数的积能被６整除.例题：1.设一个五位数，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.
解：11|
∴11|a＋c＋d－b－a
即11|c＋3
∴c＝8
1≤a≤9，且a∈Z2.设72|，试求a，b的值.
解：72＝8×9，且(8，9)＝1
∴8|，且9|
∴8|Þb＝6
且9|a＋6＋7＋3＋6
即9|22＋a
∴a＝53.设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n，
求证:1985|A.
证明：∵1985＝397×5A＝(3237n－632n)－(855n－235n)＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z)＝5×521×u－5×124×v∴5|A又A＝(3237n－855n)－(623n－235n)＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z)＝397×6×s－397×t∴397｜A又∵(397,5)＝1
∴397×5｜A
即1985｜A4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立.证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。∵x2，y2被４除余数为０或１.∴x2＋y2被４除余数为０，１或２.又∵1995被４除余数为３.∴得出矛盾，假设不成立.故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.
费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1
则p|mp－1－15.试证：999…9能被13整除.12个证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…‚1012－1＝999…9. 12个又（10,13）=1∴13｜(1013－1－1),即13｜(1012－1)∴13｜999…9. 12个6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.
解：设该数为A＝，其中a1＝6
令x＝
则A＝＝x·10＋6
于是4A＝＝6×10n－1＋x
即有4×10x＋24＝6×10n－1＋x
x＝
∵(2，13)＝1，x是整数
∴13|(10n－1－4)
n＝1，2时，10n－1－4＜10显然不满足条件
n＝3时，10n－1－4＝96不满足条件
n＝4时，10n－1－4＝996不满足条件n＝5时，10n－1－4＝9996不满足条件
n＝6时，10n－1－4＝99996满足条件∴x＝＝15384
即A＝1538467.一个正整数，如果用７进制表示为，如果用５进制表示为，请用10进制表示这个数.
解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则n＝＝a×72＋b×7＋c,n==c×52＋b×5＋a∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a48a＋2b－24c＝0b＝12(c－2a)∴12｜b,又∵0≤b≤4 ∴b＝0,∴c＝2a∴当a＝1,c＝2时，n＝51当a＝2,c＝4时，n＝102练习：1.证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N2.设n是自然数，求证n5－n可被30整除.3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍.4.一个正整数，若用9进制表示为，若用7进制表示为，请用10进制表示此数.5.五位数能被4整除，最末两位组成的数能被6整除，求此五位数.