高二数学下试题xxxx
高二数学下试题一、选择题
1.已知锐角△ABC中，AB=4，AC=1，△ABC的面积为3，则AB→•AC→的值为( )
A.2 B.-2
C.4D.-4
解析：AB→•AC→=|AB→|•|AC→|•cosA=AB•AC•cosA=4cosA.由S△=12AB•AC•sinA=3得sinA=32，∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=12，∴AB→•AC→=2，故选A.
答案：A
2.在△ABC中，若A=60°，b=16，此三角形的面积S=2203，则a的值为( )
A.206B.25
C.55D.49
解析：由题可得S=12bcsinA=2203，∴c=55，a2=b2+c2-2bccosA=2401，∴a=49.
答案：D
3.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )
A.3和5B.4和6
C.6和8D.5和7
解析：∵cosA=35，∴sinA=45，S=12bcsinA=14，∴bc=35，又b-c=2，∴b=7，c=5.
答案：D
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆直径是( )
A.43B.5
C.52D.62
解析：因为S△ABC=12acsinB，即2=12×1×c×22，所以c=42，b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×42×22=25.所以b=5，所以2R=bsinB=522=52，选C.
答案：C
5.在△ABC中，若a=2，b=22，c=6+2，则A的度数是( )
A.30°B.45°
C.60°D.75°
解析：cosA=b2+c2-a22bc=32，所以A=30°，选A.
答案：A
6.在△ABC中，AB=12，∠ACB的平分线CD把三角形面积分成32两部分，则cosA等于( )
A.13B.12
C.34D.0
解析：因为CD是∠ACB的平分线，所以
S△ACDS△BCD=12AC•CD•sin∠ACB212BC•CD•sin∠ACB2=ACBC=sinBsinA=32.
因为B=2A，所以sinBsinA=sin2AsinA=2cosA=32，
所以cosA=34，选C.
答案：C
7.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC边上的高为( )
A.322B.332
C.32D.33
解析：由余弦定理，得cosA=9+16-132×3×4=1224=12，∴sinA=32.∴AC边上的高=AB•sinA=323.故选B.
答案：B
8.在△ABC中，A与B恰满足sin3A2=sin3B2，则三边a、b、c必须满足( )
A.a=b
B.a=b=c
C.a+b=2c
D.(a-b)(a2+b2-ab-c2)=0
解析：由sin3A2=sin3B2得：3A2=3B2或3A2+3B2=π，
即A=B或A+B=2π3，∴A=B或C=π3，
∴a=b或cosC=12=a2+b2-c22ab，
即a=b或a2+b2-ab-c2=0，∴选D.
答案：D
9.若△ABC的周长等于20，面积是103，A=60°，则BC边的长是( )
A.5B.6
C.7D.8
解析：依题意及面积公式S=12bcsinA得103=12bcsin60°，得bc=40.又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20-a，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，故a2=(20-a)2-120，解得a=7，故选C.
答案：C
10.用长度分别为2,3,4,5,6的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )
A.85B.610
C.355D.20
解析：设三角形三边长为a，b，c，则
p=a+b+c2=2+3+4+5+62=10.
∴S=1010-a10-b10-c
≤10×[10-a+10-b+10-c3]3.
当且仅当10-a=10-b=10-c，即a=b=c时取等号，又a+b+c=20，∴a=b=c=203，这与a，b，c∈N+不符.
∴上式取不到等号，又为了使a，b，c接近相等，可知当三边长分别为2+5,3+4,6，即7,7,6时，Smax=10×3×3×4=610，∴选B.
答案：B
二、填空题
11.△ABC中sinA=13，cosB=33，a=3，则b=________.
解析：由题意知：B为锐角，∴sinB=63，由正弦定理知：b=asinBsinA=3×6313=36.
答案：36
12.已知△ABC中，AB→•AC→<0，S△ABC=154，|AB→|=3，|AC→|=5，则∠BAC=________.
解析：由AB→•AC→<0，得A是钝角，由S△ABC=154，|AB→|=3，|AC→|=5，得12×3×5×sinA=154⇒sinA=12，得∠BAC=
150°.
答案：150°
13.直角三角形的周长为6+23，斜边上的中线长为2，则三角形的面积等于________.
解析：因为直角三角形斜边上的中线长为2，所以斜边长为4.如图，
AB=4，AC+BC=2+23.令∠CBA=θ，θ为锐角，则BC=4cosθ，AC=4sinθ.所以4cosθ+4sinθ=2+23，所以sin(θ+π4)=6+24，所以θ+π4=5π12，所以θ=π6，所以BC=AB•cosθ=23，所以S△ABC=12AB•BC•sinθ=12×4×23×12=23.
答案：23
14.在△ABC中，已知|AB→|=|AC→|=2，且AB→•AC→=3，则BC边长为________.
解析：由AB→•AC→=3⇒|AB→|•|AC→|•cosA=3⇒cosA=34，由余弦定理可求得BC=2.
答案：2
三、解答题
15.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，BD是AC边上的中线.求BD的长.
解析：由余弦定理，得cosA=32+42-322×3×4=5312，
∴在△ABD中，
BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA
=(3)2+22-2×3×2×5312=2，
∴BD=2.
16.如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AC=63，∠DAB=60°，求梯形的高.
解析：过点C作CE⊥AB，CE即为所求.
∵CD∥AB，∠DAB=60°，
∴∠ADC=120°，
由正弦定理得sin∠DAC=6×sin120°63=12，
∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，
在Rt△CAE中，CE=ACsin∠CAB=12AC=33，
即梯形的高为33.
17.如图在△ABC中，AB=2，AC=4，线段CB的垂直平分线交线段AC于D，DA-DB=1，求△BCD的面积.
解析：由于D是线段BC的垂直平分线上的一点，
∴BD=CD，于是AD-DB=AD-DC=1.
又∵AD+DC=AC=4，∴AD=52，DC=32.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD•BD=254+94-42×52×32=35，
sin∠ADB=1-cos2∠ADB=45.
∵∠BDC+∠ADB=180°，
∴sin∠BDC=sin∠ADB=45，
S△BCD=12BD•CDsin∠BDC
=12×32×32×45=910.
18.将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片截成一块矩形，如图所示有两种裁法：让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，如左图，或让矩形一边与AB平行，如右图，问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.
解析：(1)如图所示，
设∠AOM=θ(0°<θ<90°)，则OP=20cosθ，PM=20sinθ.
∴S1=OP•PM=20cosθ•20sinθ=400sinθcosθ=200sin2θ，
当θ=45°时，S1取最大面积为200cm2.
(2)如图所示，设∠AOM=θ(0°<θ<60°)，
在△OMQ中，由正弦定理得
QM=OM•sinθsin∠OQM=OM•sinθsin120°=40sinθ3，
由图形的对称性知：∠AOB的平分线OC为扇形的对称轴，∴∠MOC=60°-θ，
MN=2DM=2•OM•sin(60°-θ)=40•sin(60°-θ)，
因此S2=QM•MN=40•sinθ3•40•sin(60°-θ)
=80033[cos(2θ-60°)-cos60°]
=80033[cos(2θ-60°)-12].
当cos(2θ-60°)=1,2θ-60°=0°，θ=30°时，
S2有最大值为40033cm2，
∵S2>S1，
∴第二种方法截得的矩形有最大面积，最大面积为40033cm2.
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