平面向量单元测试题

平面向量单元测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1．若ABCD是正方形，E是CD的中点，且，，则=()A．B．　　Ｃ．Ｄ．2．下列命题中，假命题为（）A.若，则B．若，则或C．若k∈R，k，则k=0或D．若，都是单位向量，则≤1恒成立3．设，是互相垂直的单位向量，向量，，，则实数m为（）A．-2B．2Ｃ．Ｄ．不存在4．已知非零向量，则下列各式正确的是（）A．+=B．+=C．-=D．=5．在边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则的值为（）A．B．Ｃ．0Ｄ．36．在△OAB中，=（2cosα，2sinα），=（5cosβ，5sinβ），若=-5，则S_△OAB=（）A．B．Ｃ．Ｄ．7．在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是（）A．长方形B．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形8．把函数y=cos2x+3的图象沿向量平移后得到函数y=sin（2x-）的图象，则向量是（）A．（）Ｂ．（）Ｃ．（）Ｄ．（）9．若点F₁，F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F₁PF₂的面积为1时，的值为（）A．0B．1Ｃ．3Ｄ．610．向量=（-1，1），且与+2方向相同，则的范围是（）A．（1，+∞）B．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1）11．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心B．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心12．已知D是△ABC中AC边上一点，且=2+，∠C=45°，∠ADB=60°，则=（）A．2B．0Ｃ．Ｄ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．△ABC中，已知a=4，b=6，sinB=，则∠A=。14．已知M(3,4)，N(12,7)，点Q在直线MN上，且，则点Q的坐标为。15．已知||=8，||=15，|+|=17，则与的夹角θ为=。16．给出下列四个命题：①若，则∥；②与不垂直；③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则；④设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC=。其中真命题的序号是（请将你认为真命题的序号都填上）。三、解答题：本大题共6小题，共74分。17．（本小题满分12分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量，∥，又+=，求。18．（本小题满分12分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，(0<α<π)。（1）若（O为坐标原点），求与的夹角；（2）若，求tanα的值。19.如图，O，A，B三点不共线，，，设，。（1）试用表示向量；（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，A(1，t)，C（-2t，2），（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。21．（本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，其中tanα=。在距离港口O为a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。（1）求S关于m的函数关系式S(m)；（2）当m为何值时，补给最合适？-平面向量答案一、选择题：1．B；2．B；3．A；4．D；5．B；6．D；7．D；8．A；9．A；10．C；11．C；12．B10．C．解析：注意与+2同向，可设+2=λ（λ>0），则=，从而。11．C．解析：+，即，即与同向。12．B．解析：解三角形可得∠ABD=90°。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．30°14．(6,5)或(0,3)15．16．①④17．=-=（11，6）。18.19.=。20.S(t)=三、解答题：本大题共6小题，共74分。17．解：设=（x,y），∵，∴，∴2y–x=0，①又∵∥，=（x+1，y-2），∴3(y-2)–(x+1)=0，即：3y–x-7=0，②由①、②解得，x=14，y=7，∴=（14，7），则=-=（11，6）。18．解：⑴∵，，∴，∴．又，∴，即，又，∴与的夹角为．⑵，，由，∴，　可得，①∴，∴，∵，∴，又由，＜0，∴＝－，②由①、②得，，从而．19．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴=x+(1-x)=2x+(1-x)，①同理，∵A，E，D三点共线，可得，=y+3(1-y)，②比较①，②得，解得x=，y=,∴=。（2）∵，，，，∴，∴L，M，N三点共线。20．解：（1）∵，∴OABC为平行四边形，又∵，∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形。∵=(1-2t，2+t)，当1-2t>0，即0<t<时，A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如图1）此时BC的方程为：y-2=t(x+2t)，令x=0，得BC交y轴于K(0,2t²+2),∴S(t)=S_OABC-S_△OKC=2(1-t+t²-t³).①当1-2t≤0，即t≥时，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）此时AB的方程为：y-t=(x-1)，令x=0，得AB交轴于M(0,t+),∴S(t)=S_△OAM=.∴S(t)=（2）当0<t<时，S(t)=2(1-t+t²-t³)，S′(t)=2(-1+2t-3t²)<0，∴S(t)在（0，）上是减函数。当t≥时，S(t)=，S′(t)=，∴S(t)在[，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。∴当t=1时，S(t)有最小值为1。21．解：（1）以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。直线OZ的方程为y=3x，①设A(x₀，y₀)，则x₀=3sinβ=9a，y₀=3cosβ=6a，∴A(9a，6a)。又B(m，0)，则直线AB的方程为y=(x-m)②由①、②解得，C()，∴S(m)=S_△OBC=|OB||y_c|=，()。（2）S(m)=3a[(m-7a)+]≥84a²。当且仅当m-7a=，即m=14a>7a时，等号成立，故当m=14a为海里时，补给最合适。