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高三上学期数学期末考试试卷
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量，，且，则实数的值为
A.B.C.D.
2.设集合，，若，则实数的值为
A.B.C.D.
3.已知直线平面,直线,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.定义：.若复数满足，则等于
A.B.C.D.
5.函数在处的切线方程是
A.B.C.D.
6.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，
则可以输出的函数是
A.B.C.D.
7.若函数的图象(部分)如图所示，
则和的取值是
A.B.
C.D.
8.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是
A.B.C.D.
9.已知，若方程存在三个不等的实根，则的取值范围是
A.B.C.D.
10.已知集合,。若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是
A.0B.1C.2D.无数个
第二卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上.
11.已知随机变量，若，则等于******.
12.某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是******.
13.已知抛物线的准线与双曲线相切，
则双曲线的离心率******.
14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为******.
15.已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实
数的取值范围是******.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分13分)
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.
(Ⅰ)求与;
(Ⅱ)证明：.
17.(本小题满分13分)
已知向量
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。
18.(本小题满分13分)图一，平面四边形关于直线对称，，，.把沿折起(如图二)，使二面角的余弦值等于.
对于图二，完成以下各小题：
(Ⅰ)求两点间的距离;
(Ⅱ)证明：平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分13分)二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病.经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒.引起世人对食品安全的关注.《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm.
罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)如下：
(Ⅰ)若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率;
(Ⅱ)以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ
20.(本小题满分14分)
已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于，两点.
①若直线垂直于轴，求的大小;
②若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在，求出直线的方程;如果不存在，请说明理由.
21.(本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，
①方程有实数根;②函数的导数满足.
普通高中2019—xxxx学年第一学期三明一、二中联合考试
高三数学(理科)答案
三、解答题
16.解：(Ⅰ)设的公差为，
因为所以………
…………………………………3分
解得或(舍)，.
故，.……………………………………6分
(Ⅱ)因为，
所以.……………………………………9分
故
…………………………………………………………………11分
因为≥，所以≤，于是≤，
所以≤.
即≤……………………………………………13分
17.解：(Ⅰ)…………2分
………………………………4分
………………………………6分
，
∴。……………………………………………………………………7分
(Ⅱ)令=0,解得
易知的图象与轴正半轴的第一个交点为。……………………9分
所以的图象、轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
。……………………………………………………………11分
……………………………………………………………13分
18.解：(Ⅰ)取的中点，连接，
由，得：
∴就是二面角的平面角，即…………………2分
在中，解得，又
，解得。…………………………………………4分
(Ⅱ)由，
∴，∴，
∴，又，∴平面.……………8分
(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知平面，平面
∴平面平面，平面平面，
就是与平面所成的角。……………………………………………11分
∴.……………………………………………13分
方法二：设点到平面的距离为，
∵，，
∴，……………………………………………………………………………11分
于是与平面所成角的正弦为.………………………13分
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，则
，，，，
取，则，………………………………………………………11分
于是与平面所成角的正弦.………13分
19.解：(I)记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
则.
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为……&hell
ip;………5分
(II)解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=，……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ0123
P(ξ)
………11分
所以ξ～，………………………………………12分
所以Eξ=1.………………………………………………13分
解法二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=，……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ0123
P(ξ)
………11分
所以Eξ=.……………………………………13分
20.解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，.………………………………………2分
解得.
∴椭圆的标准方程为.……………………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.设.
(ⅰ)当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由解得：或
即(不妨设点在轴上方).…………………5分
则直线的斜率，直线的斜率.
∵，得.
∴.………………………………………6分
(ⅱ)当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为点在椭圆的内部，显然.
………………………………………8分
因为，，，
所以
∴.即为直角三角形.……………11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
∴点的纵坐标.
又
故与不垂直，矛盾.
所以当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.
………………………………………13分
21.解：(Ⅰ)因为①当时，，
所以方程有实数根0;
②，
所以，满足条件;
由①②，函数是集合中的元素.…………5分
(Ⅱ)假设方程存在两个实数根，，
则，.
不妨设，根据题意存在，
满足.
因为，，且，所以.
与已知矛盾.又有实数根，
所以方程有且只有一个实数根.…………10分
(Ⅲ)当时，结论显然成立;……………………………………………11分[来源:学&科&网Z&X&X&K]
当，不妨设.
因为,且所以为增函数，那么.
又因为，所以函数为减函数，
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