xxxx年高中第四册数学期末考试卷分析
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一.选择题
1.函数y=xcosx+sinx的图象大致为
(A) (B)(C)(D)
2.抛物线C1：y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=(D)
A.B.C.D.
3.下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确为(D)
数列的递增数列;数列的递增数列;
数列的递增数列;数列的递增数列;
A.B.C.D.
4.在中，内角，，所对边的长分别为，，，若，且，则角的大小为( A )
A.B.C.D.
5.使得展开式中含有常数项的最小的为( B )
A.4B.5C.6D.7
6.已知点，，。若△为直角三角形，则必有( C )
A.B.
C.D.
7.将函数y=sin(2x+)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为( B )
(A)(B)(C)0(D)
8.给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的( B )
(A)充分而不必条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
9.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )
(A)243(B)252(C)261(D)279
10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1¬PF2=60°，=a，则该双曲线的渐近线方程为( D )
(A)x±y=0(B)x±y=0
(C)x±y=0(D)x±y=0
二.填空题
11.已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为 【答案】
12.定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，则;②若，则
③若，则;④若，则
其中的真命题有：(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④
13.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).若点是区域内的任意一点，则的取值范围是.【答案】[—2，12]
14.在平面直角坐标系中，设定点，是函数()图象上一动点，
若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为.【答案】1或
15.已知的定义域为R的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是_________________
三.解答题
16.(本小题满分12分)已知，.
(1)若，求证：;
(2)设，若，求的值.
解：(1)a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα•cosβ+sinα•sinβ)=2，
所以，cosα•cosβ+sinα•sinβ=0，
所以，.
(2)，①2+②2得：cos(α-β)=-12.
所以，α-β=，α=+β，
带入②得：sin(+β)+sinβ=cosβ+12sinβ=sin(+β)=1，
所以，+β=.
所以，α=，β=.
17.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：
(1)平面平面;
(2).
证：(1)因为SA=AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点.
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC.
又AB∩AC=A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面平面.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=BC，
AF平面ASB，AF⊥SB.
所以，AF⊥平面SBC.
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC.
又AB⊥BC，AF∩AB=A，
所以，BC⊥平面SAB.
又SA平面SAB，
所以，.
18.(本小题满分12分)
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，
，其中为实数.
(1)若，且成等比数列，证明：();
>(2)若是等差数列，证明：.
证：(1)若，则，，.
当成等比数列，，
即：，得：，又，故.
由此：，，.
故：().
(2)，
.(※)
若是等差数列，则型.
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故.
经检验，当时是等差数列.
19.(本小题满分12分)
设函数，，其中为实数.
(1)若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
解：(1)≤0在上恒成立，则≥，.
故：≥1.
，
若1≤≤e，则≥0在上恒成立，
此时，在上是单调增函数，无最小值，不合;
若>e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足.
故的取值范围为：>e.
(2)≥0在上恒成立，则≤ex，
故：≤1e.
.
(ⅰ)若0<≤1e，令>0得增区间为(0，1a);
令<0得减区间为(1a，﹢∞).
当x→0时，f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞;
当x=1a时，f(1a)=﹣lna-1≥0，当且仅当=1e时取等号.
故：当=1e时，f(x)有1个零点;当0<<1e时，f(x)有2个零点.
(ⅱ)若a=0，则f(x)=﹣lnx，易得f(x)有1个零点.
(ⅲ)若a<0，则在上恒成立，
即：在上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞.
此时，f(x)有1个零点.
综上所述：当=1e或a<0时，f(x)有1个零点;当0<<1e时，f(x)有2个零点.
20.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.
21.已知m是非零实数，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线l：x-my-=0上.
(Ⅰ)若m=2，求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与
x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
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